Question

Докажите что данная функция не имеет точек экстремума : 1) f(x) = 6x^5 - 15x^4 + 10x^3 - 202) f(x) = cos x + x​

Answer 1

Для того чтобы доказать, что данная функция не имеет точек экстремума, мы должны проанализировать её производные и исследовать их поведение.

Функция f(x) = 6x^5 - 15x^4 + 10x^3 - 20

Для начала рассмотрим первую производную функции f(x) и найдем её значение:

f'(x) = 30x^4 - 60x^3 + 30x^2

Теперь нам нужно найти значения x, при которых f'(x) равно нулю, так как точки экстремума соответствуют нулевым значениям первой производной.

Получаем уравнение:

30x^4 - 60x^3 + 30x^2 = 0

Мы можем преобразовать это уравнение, чтобы выразить x в терминах x^2:

x^2(30x^2 - 60x + 30) = 0

Теперь мы видим, что у нас есть два слагаемых в скобках, которые могут быть упрощены:

x^2(30(x^2 - 2x + 1)) = 0

x^2(30(x - 1)^2) = 0

Итак, у нас есть два возможных значения x: x = 0 и x = 1.

Теперь давайте рассмотрим вторую производную функции f(x), чтобы определить, являются ли найденные нами значения x точками максимума или минимума.

f''(x) = 120x^3 - 180x^2 + 60x

Подставим x = 0:

f''(0) = 0

Подставим x = 1:

f''(1) = 120 - 180 + 60 = 0

Мы видим, что в обоих случаях вторая производная равна нулю. Это означает, что у нас нет точек экстремума для функции f(x) = 6x^5 - 15x^4 + 10x^3 - 20.

Функция f(x) = cos(x) + x

Теперь рассмотрим вторую функцию f(x) = cos(x) + x. Для начала найдем её первую производную:

f'(x) = -sin(x) + 1

Теперь найдем значения x, при которых f'(x) равно нулю:

-sin(x) + 1 = 0

sin(x) = 1

Известно, что sin(x) = 1 при x = π/2 + 2πn, где n - целое число. То есть у нас есть бесконечное количество точек, где первая производная равна нулю.

Теперь рассмотрим вторую производную:

f''(x) = -cos(x)

Мы видим, что вторая производная не зависит от x и всегда равна -1. Это означает, что у нас есть точки экстремума для функции f(x) = cos(x) + x в каждой точке, где первая производная равна нулю.

Таким образом, функция f(x) = cos(x) + x имеет точки экстремума во всех точках, где x = π/2 + 2πn.