Question

Умоляю помогите решить аааа Найти производную функции в данном значении аргумента: y=4sin^5 2x ,x=П\8

Answer 1

Для решения задачи найдем производную функции y=4sin^5(2x) по переменной x.

Для начала, заметим, что функция y представляет собой композицию функций: синуса и пятой степени. Поэтому для нахождения производной нам понадобится использовать правило дифференцирования сложной функции.

Обозначим функцию внутри синуса как u = 2x, а функцию возвода в пятую степень как v = sin^5(u). Тогда функция y может быть записана как y = 4v.

Для нахождения производной функции y по переменной x применим правило дифференцирования сложной функции:

dy/dx = dy/dv * dv/du * du/dx.

Вычислим каждую из производных по отдельности:

1. dy/dv: функция y = 4v является линейной функцией относительно v, поэтому ее производная равна 4.

2. dv/du: функция v = sin^5(u) представляет собой пятую степень синуса, поэтому ее производная равна 5sin^4(u) * cos(u) (производная пятой степени синуса дает 5sin^4(u), а производная аргумента u по переменной x равна cos(u)).

3. du/dx: функция u = 2x является линейной функцией относительно x, поэтому ее производная равна 2.

Теперь можем подставить найденные производные в формулу dy/dx:

dy/dx = dy/dv * dv/du * du/dx = 4 * 5sin^4(u) * cos(u) * 2.

Осталось только выразить u через x и упростить полученное выражение.

Мы знаем, что u = 2x, поэтому:

dy/dx = 4 * 5sin^4(2x) * cos(2x) * 2.

Таким образом, производная функции y=4sin^5(2x) по переменной x равна 40sin^4(2x) * cos(2x).