Question

Решите уравнение 3 cos^2x-5sinx-1=0 которые принадлежат отрезку [-3п;-2п]

Answer 1

Давайте решим уравнение \(3 \cos^2x - 5 \sin x - 1 = 0\) на отрезке \([-3\pi, -2\pi]\).

1. Преобразование уравнения:

Заметим, что \(\cos^2x = 1 - \sin^2x\). Подставим это в уравнение:

\[3(1 - \sin^2x) - 5\sin x - 1 = 0\]

Раскроем скобки:

\[3 - 3\sin^2x - 5\sin x - 1 = 0\]

Упорядочим члены уравнения:

\[-3\sin^2x - 5\sin x + 2 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\sin x\).

2. Решение квадратного уравнения:

\[-3\sin^2x - 5\sin x + 2 = 0\]

Для нахождения корней воспользуемся дискриминантом \(D\):

\[D = b^2 - 4ac\]

где у нас есть уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае \(a = -3\), \(b = -5\), \(c = 2\).

\[D = (-5)^2 - 4(-3)(2) = 25 + 24 = 49\]

Так как \(D > 0\), у нас есть два корня:

\[\sin x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[\sin x = \frac{5 \pm 7}{-6}\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \(\sin x\):

\[\sin x_1 = -\frac{2}{3}, \quad \sin x_2 = -1\]

3. Нахождение углов:

Теперь найдем соответствующие значения углов \(x\).

Для \(\sin x_1 = -\frac{2}{3}\), найдем обратный синус:

\[x_1 = \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)\]

Для \(\sin x_2 = -1\), так как синус \(x\) равен -1 при \(x = -\frac{\pi}{2}\), у нас есть одно решение.

4. Проверка интервала:

Проверим, что найденные значения углов принадлежат отрезку \([-3\pi, -2\pi]\). Если они не принадлежат, отбросим их.

\[x_1 = \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)\]

Это значение не входит в интервал \([-3\pi, -2\pi]\), так как обратный синус принимает значения в интервале \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\). Следовательно, отбрасываем \(x_1\).

Для \(x_2 = -\frac{\pi}{2}\), это значение принадлежит интервалу.

Таким образом, уравнение \(3 \cos^2x - 5 \sin x - 1 = 0\) имеет одно решение на отрезке \([-3\pi, -2\pi]\): \(x = -\frac{\pi}{2}\).