Question

Найти область определения (Подробно)

Answer 1

Область определения функции - это множество всех значений независимой переменной, при которых функция имеет смысл и может быть корректно определена. Давайте рассмотрим это понятие на примере.

Пусть у нас есть функция \( f(x) = \sqrt{4 - x^2} \). Чтобы найти область определения этой функции, нужно учесть два аспекта:

1. Квадратный корень: в выражении присутствует квадратный корень. Квадратный корень из отрицательного числа не определен в области действительных чисел, поэтому выражение под корнем (\(4 - x^2\)) должно быть неотрицательным.

\[ 4 - x^2 \geq 0 \]

2. Второй аспект: даже если выражение под корнем неотрицательно, функция все равно может быть неопределенной, если присутствует деление на ноль в знаменателе или другие операции, которые могут привести к неопределенности.

Решим неравенство \(4 - x^2 \geq 0\):

\[ 4 - x^2 \geq 0 \]

Факторизуем его:

\[ (2 + x)(2 - x) \geq 0 \]

Теперь мы видим, что неравенство выполняется при \(x \leq -2\) или \(x \geq 2\). Таким образом, область определения функции \( f(x) = \sqrt{4 - x^2} \) - это множество всех действительных чисел \(x\), таких что \(-2 \leq x \leq 2\).

Итак, область определения этой функции: \([-2, 2]\). То есть функция определена при любых значениях \(x\) в этом интервале.