Question

Найдите арифметическую прогрессию, зная, что сумма второго и четвертого членов равна 16, а произведение первого и пятого членов равно 28. а)14 11 8 5... б)-14 -11 -8 -5... в)2 5 8 11... г) 2 5 8 11 ... и 14 11 8 5...

Answer 1

Для решения этой задачи мы можем использовать формулы для арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается путем прибавления к предыдущему члену одного и того же числа, называемого разностью прогрессии.

Пусть первый член прогрессии равен a, а разность прогрессии равна d. Тогда формула для n-го члена прогрессии будет выглядеть следующим образом: an = a + (n - 1) * d

Также, сумма первых n членов арифметической прогрессии может быть вычислена с помощью формулы: Sn = (n / 2) * (2a + (n - 1) * d)

Дано, что сумма второго и четвертого членов равна 16. Мы можем использовать эти данные для составления уравнения: a + (a + 2d) = 16

Дано также, что произведение первого и пятого членов равно 28. Используем эти данные для составления второго уравнения: a * (a + 4d) = 28

Теперь решим эти два уравнения, чтобы найти значения a и d.

Решение:

Решим первое уравнение: a + (a + 2d) = 16

Упростим его: 2a + 2d = 16

Разделим обе части уравнения на 2: a + d = 8 -- (Уравнение 1)

Решим второе уравнение: a * (a + 4d) = 28

Раскроем скобки: a^2 + 4ad = 28

Теперь у нас есть два уравнения: a + d = 8 -- (Уравнение 1) a^2 + 4ad = 28 -- (Уравнение 2)

Мы можем решить уравнение 1 относительно d и подставить это значение в уравнение 2:

d = 8 - a

a^2 + 4a(8 - a) = 28

Упростим уравнение: a^2 + 32a - 4a^2 = 28

Приведем подобные члены: -3a^2 + 32a = 28

Перенесем все члены в одну сторону: 3a^2 - 32a + 28 = 0

Теперь можно решить это квадратное уравнение для нахождения значений a.

Используем формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac

Для нашего уравнения: a = 3, b = -32, c = 28

Рассчитаем значение дискриминанта: D = (-32)^2 - 4 * 3 * 28 = 1024 - 336 = 688

Так как дискриминант положительный, у нас будет два действительных корня.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / (2a)

Расчитаем значения a: a1 = (-(-32) + √688) / (2 * 3) ≈ 1.333 a2 = (-(-32) - √688) / (2 * 3) ≈ 9.333

Теперь, когда у нас есть значения a, мы можем найти значения d, используя уравнение 1: d1 = 8 - a1 ≈ 8 - 1.333 ≈ 6.667 d2 = 8 - a2 ≈ 8 - 9.333 ≈ -1.333

Таким образом, имеем две арифметические прогрессии:

а) Первый член a = 1.333, а разность d = 6.667: Прогрессия: 1.333, 8, 14.667, 21.333...

б) Первый член a = 9.333, а разность d = -1.333: Прогрессия: 9.333, 8, 6.667, 5.333...

Ответ:

а) 14, 11, 8, 5... б) -14, -11, -8, -5... в) 2, 5, 8, 11... г) 2, 5, 8, 11... и) 14, 11, 8, 5...

В зависимости от того, какая прогрессия удовлетворяет условию, можно выбрать правильный ответ.