Question

Как начать решение? что с двойкой делать? log₁₊х(2x²-3x+1)≤2

Answer 1

Для начала решения данного неравенства, необходимо привести его к эквивалентному виду без логарифма.

Имеем неравенство: log₁₊х(2x²-3x+1) ≤ 2

Для того чтобы избавиться от логарифма, нужно применить определение логарифма: если logₐ(b) ≤ c, то a^c ≥ b.

Применим это определение к нашему неравенству:

1+x ≤ (2x²-3x+1)

Упростим выражение:

2x²-4x ≥ 0

Теперь решим это квадратное неравенство. Для этого нужно найти корни уравнения 2x²-4x = 0.

Выносим общий множитель:

2x(x-2) = 0

Теперь рассмотрим два случая:

1) x = 0 2) x - 2 = 0, откуда x = 2

Получаем два корня: x = 0 и x = 2.

Теперь построим знаки на числовой прямой и определим интервалы, на которых выполняется неравенство.

---|-----------|---------|--- -∞ 0 2 +∞

На интервале (-∞, 0) неравенство не выполняется, так как левая часть неравенства будет отрицательной, а правая - положительной.

На интервале (0, 2) неравенство выполняется, так как левая часть неравенства будет положительной, а правая - положительной или равной нулю.

На интервале (2, +∞) неравенство не выполняется, так как левая часть неравенства будет положительной, а правая - положительной или большей двух.

Таким образом, решением данного неравенства является интервал (0, 2].