Question

Показательное неравенство: 3^(2x-1)-3^(x-1)>=2

Answer 1

Дано показательное неравенство: 3^(2x-1) - 3^(x-1) >= 2.

Давайте разберемся, как решить это неравенство.

Шаг 1: Приведение подобных слагаемых

Первым шагом мы можем привести подобные слагаемые. Обратите внимание, что оба члена неравенства содержат степени числа 3. Мы можем объединить эти слагаемые следующим образом:

3^(2x-1) - 3^(x-1) = 3^(x-1) * (3^x - 1).

Шаг 2: Преобразование неравенства

Теперь мы можем переписать неравенство в следующем виде:

3^(x-1) * (3^x - 1) >= 2.

Шаг 3: Решение уравнения

Далее нам нужно решить это уравнение. Для этого нам нужно рассмотреть два случая:

Случай 1: 3^(x-1) > 0.

Если 3^(x-1) > 0, то мы можем разделить обе части неравенства на 3^(x-1) без изменения направления неравенства:

3^x - 1 >= 2 / 3^(x-1).

Случай 2: 3^(x-1) < 0.

Если 3^(x-1) < 0, то умножение на отрицательное число изменит направление неравенства. Таким образом, мы должны поменять знак неравенства:

3^x - 1 <= 2 / 3^(x-1).

Шаг 4: Решение уравнений

Теперь мы можем решить каждое из полученных уравнений.

Случай 1: 3^(x-1) > 0.

Мы можем продолжить преобразования:

3^x - 1 >= 2 / 3^(x-1).

3^x >= 2 / 3^(x-1) + 1.

3^x >= (2 + 3^(x-1)) / 3^(x-1).

Теперь мы можем применить логарифмы к обеим сторонам неравенства. Давайте возьмем натуральный логарифм (ln) от обеих сторон:

ln(3^x) >= ln((2 + 3^(x-1)) / 3^(x-1)).

x * ln(3) >= ln(2 + 3^(x-1)) - ln(3^(x-1)).

x * ln(3) >= ln(2 + 3^(x-1)) - (x-1) * ln(3).

x * ln(3) >= ln(2 + 3^(x-1)) - x * ln(3) + ln(3).

2 * x * ln(3) >= ln(2 + 3^(x-1)) + ln(3).

2 * x * ln(3) >= ln((2 + 3^(x-1)) * 3).

2 * x * ln(3) >= ln(6 + 3^x - 3).

2 * x * ln(3) >= ln(3^x + 3).

Теперь мы можем переписать левую часть неравенства в виде ln(3^(2x)), используя свойство логарифма ln(a^b) = b * ln(a):

ln(3^(2x)) >= ln(3^x + 3).

2x * ln(3) >= ln(3^x + 3).

Шаг 5: Решение неравенства

Теперь, зная, что ln(3) является положительным числом, мы можем разделить обе части неравенства на ln(3) и изменить направление неравенства:

2x >= ln(3^x + 3) / ln(3).

x >= (ln(3^x + 3) / ln(3)) / 2.

Случай 2: 3^(x-1) < 0.

Аналогично первому случаю, мы можем применить логарифмы и преобразования к этому неравенству:

x * ln(3) <= ln(2 + 3^(x-1)) - ln(3^(x-1)).

x * ln(3) <= ln(2 + 3^(x-1)) - (x-1) * ln(3).

x * ln(3) <= ln(2 + 3^(x-1)) - x * ln(3) + ln(3).

2 * x * ln(3) <= ln(2 + 3^(x-1)) + ln(3).

2 * x * ln(3) <= ln((2 + 3^(x-1)) * 3).

2 * x * ln(3) <= ln(6 + 3^x - 3).

2 * x * ln(3) <= ln(3^x + 3).

ln(3^(2x)) <= ln(3^x + 3).

2x * ln(3) <= ln(3^x + 3).

Ответ:

Итак, решением данного показательного неравенства 3^(2x-1) - 3^(x-1) >= 2 является:

x >= (ln(3^x + 3) / ln(3)) / 2, где ln обозначает натуральный логарифм, а ln(3) является положительным числом.