Question

Существуют ли такие три положительных числа a, b, c, что каждый из трех квадрат-ных трехчленов ax^2+bx+c ,bx^2+cx+a ,cx^2+ax+b имеет хотя бы один корень?

Answer 1

Давайте рассмотрим три квадратных трехчлена:

1. \(ax^2 + bx + c\) 2. \(bx^2 + cx + a\) 3. \(cx^2 + ax + b\)

Для удобства обозначим корни этих трехчленов через \(x_1, x_2\) и \(x_3\). Таким образом, у нас есть три уравнения:

1. \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) = 0\) 2. \(bx^2 + cx + a = b(x - x_2)(x - x_3) = 0\) 3. \(cx^2 + ax + b = c(x - x_3)(x - x_1) = 0\)

Теперь давайте рассмотрим их произведение:

\((ax^2 + bx + c)(bx^2 + cx + a)(cx^2 + ax + b) = abc(x - x_1)(x - x_2)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_3)(x - x_1)\)

Обратите внимание, что это произведение равно нулю, если хотя бы одно из слагаемых равно нулю. Таким образом, у нас есть несколько вариантов:

1. Если \(x_1 = x_2 = x_3\), то все три квадратных трехчлена будут иметь одинаковый корень, и это условие выполнится. 2. Если два из \(x_1, x_2, x_3\) совпадают, то соответствующие два квадратных трехчлена будут иметь общий корень, и условие также выполнится. 3. Если все три корня различны, то каждый из квадратных трехчленов будет иметь хотя бы один корень.

Таким образом, существуют такие положительные числа \(a, b, c\), что каждый из трех квадратных трехчленов имеет хотя бы один корень.