Question

Решите неравенство 4^x-2 / 1-3x >0

Answer 1

Давайте решим данное неравенство:

\[ \frac{4^x - 2}{1 - 3x} > 0 \]

Чтобы решить это неравенство, давайте рассмотрим каждую часть отдельно.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому \(1 - 3x \neq 0\). Решим уравнение: \[ 1 - 3x = 0 \] Получаем, что \(x = \frac{1}{3}\). Таким образом, ОДЗ: \(x \in \mathbb{R}, x \neq \frac{1}{3}\).

2. Разбиваем числитель и знаменатель на множители: \[ \frac{4^x - 2}{1 - 3x} = \frac{2(2^{2x} - 1)}{-1(3x - 1)} \]

3. Определяем знаки выражений в каждой части: - \(2^{2x} - 1\) всегда положительно для любых реальных значений \(x\), так как это экспоненциальная функция. - \((3x - 1)\) положительно, если \(x > \frac{1}{3}\) и отрицательно, если \(x < \frac{1}{3}\). - Умножение на \(-1\) меняет знак, так что \(-1(3x - 1)\) отрицательно, если \(x > \frac{1}{3}\) и положительно, если \(x < \frac{1}{3}\).

4. Определяем знаки исходного выражения: - Если оба множителя положительны или оба отрицательны, то результат положителен. - Если один из множителей равен нулю, то результат равен нулю.

Таким образом, неравенство выполняется в двух интервалах: - \(x < \frac{1}{3}\) - \(x > \frac{1}{3}\)

Таким образом, решение неравенства: \[ x \in \left(-\infty, \frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{1}{3}, +\infty\right) \]

Обратите внимание, что значение \(x = \frac{1}{3}\) не входит в решение из-за ограничения в ОДЗ.