Question

2cos2(x+π/6)-3cos(x+π/6)+1=0

Answer 1

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

У нас есть уравнение: 2cos(2(x+π/6)) - 3cos(x+π/6) + 1 = 0.

Для начала, давайте заменим x на y = x + π/6, чтобы упростить уравнение. Это даст нам:

2cos(2y) - 3cos(y) + 1 = 0.

Теперь давайте рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: 2cos(2y). Мы можем использовать формулу двойного угла для косинуса, которая гласит: cos(2y) = 2cos^2(y) - 1. Подставим это значение в первое слагаемое:

2(2cos^2(y) - 1) - 3cos(y) + 1 = 0.

Раскроем скобки:

4cos^2(y) - 2 - 3cos(y) + 1 = 0.

Теперь давайте рассмотрим второе слагаемое: -3cos(y). Уравнение теперь выглядит следующим образом:

4cos^2(y) - 3cos(y) - 1 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(y). Давайте решим его, используя квадратное уравнение:

cos(y) = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a),

где a = 4, b = -3 и c = -1.

Подставим значения:

cos(y) = (3 ± √((-3)^2 - 4 * 4 * (-1)))/(2 * 4).

cos(y) = (3 ± √(9 + 16))/(8).

cos(y) = (3 ± √25)/(8).

cos(y) = (3 ± 5)/(8).

Теперь у нас есть два возможных значения cos(y):

1. cos(y) = (3 + 5)/(8) = 8/8 = 1. 2. cos(y) = (3 - 5)/(8) = -2/8 = -1/4.

Решение 1: cos(y) = 1

Если cos(y) = 1, тогда y = 2πk, где k - целое число.

Теперь вернемся к замене переменной: y = x + π/6.

Тогда x + π/6 = 2πk.

x = 2πk - π/6.

Это дает нам бесконечное количество решений для x.

Решение 2: cos(y) = -1/4

Если cos(y) = -1/4, тогда y = π + 2πk, где k - целое число.

Теперь вернемся к замене переменной: y = x + π/6.

Тогда x + π/6 = π + 2πk.

x = π + 2πk - π/6.

Это также дает нам бесконечное количество решений для x.

Таким образом, уравнение 2cos(2(x+π/6)) - 3cos(x+π/6) + 1 = 0 имеет бесконечное количество решений.