Question

Решите пожалуйста cos(3п/2+a)*sin^3(п-a)-cos(п+a)*sin^3(3п/2-a)/2sina*cos(2п-a)

Answer 1

Давайте разберемся с вашим выражением. У вас есть следующее выражение:

\[ \frac{\cos\left(\frac{3\pi}{2} + a\)\sin^3(\pi - a) - \cos(\pi + a)\sin^3\left(\frac{3\pi}{2} - a\)\right)}{2\sin a \cos(2\pi - a)} \]

Давайте упростим его шаг за шагом.

1. Используем тригонометрические тождества:

\[\cos(\pi + a) = -\cos a\]

\[\cos(2\pi - a) = \cos a\]

Также помним, что \(\sin(\pi - a) = \sin a\) и \(\sin\left(\frac{3\pi}{2} - a\)\) можно переписать как \(-\cos a\).

Теперь наше выражение примет следующий вид:

\[ \frac{\cos\left(\frac{3\pi}{2} + a\)\sin^3 a + \cos a \sin^3 a}{2\sin a \cos a} \]

2. Сокращаем общий множитель в числителе:

\[ \frac{\sin^3 a (\cos\left(\frac{3\pi}{2} + a\)+ \cos a)}{2\sin a \cos a} \]

3. Сокращаем общий множитель в числителе и знаменателе:

\[ \frac{\sin^2 a (\cos\left(\frac{3\pi}{2} + a\)+ \cos a)}{2} \]

4. Используем формулу сложения для косинуса:

\[\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta\]

Применяем эту формулу к \(\cos\left(\frac{3\pi}{2} + a\)\):

\[\cos\left(\frac{3\pi}{2} + a\)\ = -\sin a\]

Теперь наше выражение принимает следующий вид:

\[ \frac{\sin^2 a (-\sin a + \cos a) }{2} \]

5. Раскрываем скобки в числителе:

\[ \frac{-\sin^3 a + \sin^2 a \cos a}{2} \]

6. Факторизуем:

\[ \frac{\sin^2 a (-\sin a + \cos a)}{2} = \frac{\sin^2 a (\cos a - \sin a)}{2} \]

Таким образом, выражение упрощается до \(\frac{\sin^2 a (\cos a - \sin a)}{2}\).