Question

Помогите, пожалуйста, с заданием по алгебре (10 класс) нужно упростить тригонометрические выражения:1) √1-sin²a (всё вырожение под корнем), если 3Пи/2<а<2Пи;2)√1+ctg²a ( всё вырожение под корнем), если Пи<а< 3Пи/2;а- альфа;Пи - число Пи;Заранее спасибо!

Answer 1

Давайте рассмотрим каждое из заданных тригонометрических выражений и упростим их.

1) \(\sqrt{1 - \sin^2 a}\), при \(3\pi/2 < a < 2\pi\):

Воспользуемся тригонометрической тождеством \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\). Поскольку \(3\pi/2 < a < 2\pi\), то \(\cos a < 0\), и тогда \(\sin^2 a = 1 - \cos^2 a\).

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[\sqrt{1 - \sin^2 a} = \sqrt{1 - (1 - \cos^2 a)} = \sqrt{\cos^2 a} = |\cos a|.\]

Так как \(\cos a < 0\) в данном диапазоне угла, то окончательно получаем \(-\cos a\).

2) \(\sqrt{1 + \cot^2 a}\), при \(\pi < a < 3\pi/2\), где \(\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{\cos a}{\sin a}\):

Воспользуемся определением котангенса и преобразуем выражение:

\[\sqrt{1 + \cot^2 a} = \sqrt{1 + \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}}.\]

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\) и подставим его в выражение:

\[\sqrt{1 + \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}} = \sqrt{\frac{\sin^2 a + \cos^2 a}{\sin^2 a}} = \frac{1}{|\sin a|}.\]

Так как \(\sin a < 0\) в данном диапазоне угла, то окончательно получаем \(-\frac{1}{\sin a}\).

Таким образом, упрощенные формулы для заданных тригонометрических выражений:

1) \(\sqrt{1 - \sin^2 a} = -\cos a\) при \(3\pi/2 < a < 2\pi\).

2) \(\sqrt{1 + \cot^2 a} = -\frac{1}{\sin a}\) при \(\pi < a < 3\pi/2\).