Question

 Найдите промежутки на которых функция y=3+9x^2-x^3 убывает?

Answer 1

Поиск промежутков убывания функции y=3+9x^2-x^3

Чтобы найти промежутки, на которых функция y=3+9x^2-x^3 убывает, мы можем проанализировать производную этой функции. Производная позволяет определить изменение функции в разных точках, и если производная отрицательна в некотором интервале, то функция убывает на этом интервале.

Давайте найдем производную функции y=3+9x^2-x^3. Для этого возьмем производную каждого члена по отдельности и объединим их:

y' = d/dx (3+9x^2-x^3) = 0 + d/dx (9x^2) - d/dx (x^3) = 18x - 3x^2

Теперь нам нужно найти значения x, при которых производная отрицательна. Для этого приравняем производную к нулю и решим получившееся уравнение:

18x - 3x^2 = 0

Выносим общий множитель:

3x (6 - x) = 0

Теперь можем найти значения x:

3x = 0 => x = 0 6 - x = 0 => x = 6

Получили две точки, где производная равна нулю: x = 0 и x = 6. Чтобы понять, как функция изменяется в окрестности этих точек, мы можем использовать тестирование знаков. Для этого выберем значения x в каждом из трех интервалов: (-∞, 0), (0, 6) и (6, +∞).

Для интервала (-∞, 0): Выберем x = -1. Подставим это значение в производную: y' = 18(-1) - 3(-1)^2 = -18 - 3 = -21

Значение производной отрицательно на этом интервале, поэтому функция убывает на интервале (-∞, 0).

Для интервала (0, 6): Выберем x = 1. Подставим это значение в производную: y' = 18(1) - 3(1)^2 = 18 - 3 = 15

Значение производной положительно на этом интервале, поэтому функция возрастает на интервале (0, 6).

Для интервала (6, +∞): Выберем x = 7. Подставим это значение в производную: y' = 18(7) - 3(7)^2 = 126 - 147 = -21

Значение производной отрицательно на этом интервале, поэтому функция убывает на интервале (6, +∞).

Итак, мы получили промежутки, на которых функция y=3+9x^2-x^3 убывает: (-∞, 0) и (6, +∞).