Question

Первый мастер выполняет некоторый заказ на три дня быстрее, чем второй мастер. Оба мастера вместе могут выполнить этот же заказ за два дня. За сколько дней выполняет данный заказ первый мастер?

Answer 1

Предположим, что первый мастер может выполнить заказ за \(X\) дней, а второй мастер - за \(X + 3\) дня. Тогда первый мастер делает за день \(1/X\) работы, а второй мастер - \(1/(X + 3)\) работы в день.

Если они работают вместе, то за день они смогут выполнить \((1/X) + (1/(X + 3))\) работы. По условию, это равно \((1/2)\) работы в день (за два дня).

Уравнение будет выглядеть следующим образом:

\[ \frac{1}{X} + \frac{1}{X + 3} = \frac{1}{2} \]

Домножим обе стороны на \(2X(X + 3)\), чтобы избавиться от дробей:

\[ 2(X + 3) + 2X = X(X + 3) \]

Упростим уравнение:

\[ 2X + 6 + 2X = X^2 + 3X \]

\[ 4X + 6 = X^2 + 3X \]

\[ 0 = X^2 - X - 6 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы видим, что у него есть два корня:

\[ X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -6\). Подставим значения:

\[ X = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} \]

\[ X = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \]

\[ X = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \]

Таким образом, у нас есть два корня: \(X_1 = 3\) и \(X_2 = -2\). Отрицательный корень не имеет физического смысла в данном контексте, поэтому отбрасываем его.

Следовательно, первый мастер может выполнить заказ за 3 дня.