Question

Найти площадь фигуры ограниченными линиями: у=3+2х-х^ и у=х+1

Answer 1

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя линиями, нужно найти точки пересечения этих линий и затем вычислить интеграл от разности этих функций по оси x в пределах между этими точками.

Для начала найдем точки пересечения линий у = 3 + 2х - х^2 и у = х + 1.

Приравняем эти две функции и решим полученное уравнение:

3 + 2х - х^2 = х + 1

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

х^2 - 3х - 2 = 0

Факторизуем это квадратное уравнение:

(х - 2)(х + 1) = 0

Таким образом, получаем два значения х: х = 2 и х = -1.

Теперь вычислим интеграл от разности этих функций по оси x в пределах от -1 до 2:

S = ∫ (3 + 2х - х^2 - (х + 1)) dx

S = ∫ (2х - х^2 - 2) dx

S = ∫ (2х - х^2) dx - ∫ 2 dx

Для первого интеграла используем правило интегрирования для многочленов:

S = х^2 - (1/3)х^3 - 2х + C1 - 2х + C2

где С1 и С2 - постоянные интегрирования.

Теперь найдем разность функций в точках пересечения:

S = (2^2 - (1/3)2^3 - 2*2) - (-1^2 - (1/3)(-1)^3 - 2*(-1))

S = (4 - (8/3) - 4) - (1 - (1/3) + 2)

S = (4 - 8/3 - 4) - (1 - 1/3 + 2)

S = (12/3 - 8/3 - 12/3) - (3/3 - 1/3 + 6/3)

S = (-8/3) - (2/3)

S = -10/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3 + 2х - х^2 и у = х + 1, равна -10/3.