Question

Найти экстремумы функции f(x) = -12x + x^3

Answer 1

Для нахождения экстремумов функции f(x) = -12x + x^3 необходимо найти её производную и приравнять её к нулю.

Производная функции f(x) равна f'(x) = -12 + 3x^2. Приравниваем её к нулю и решаем полученное уравнение:

-12 + 3x^2 = 0

3x^2 = 12

x^2 = 4

x = ±2

Таким образом, получаем две точки, в которых производная функции равна нулю: x = 2 и x = -2.

Для определения типа экстремума в каждой точке необходимо проанализировать знак второй производной функции f(x). Возьмём вторую производную функции:

f''(x) = 6x

Подставляем найденные значения x = 2 и x = -2 во вторую производную:

f''(2) = 6*2 = 12

f''(-2) = 6*(-2) = -12

Знак второй производной в точке x = 2 положительный, а в точке x = -2 отрицательный.

Таким образом, в точке x = 2 функция имеет минимум, а в точке x = -2 - максимум.

Итак, экстремумы функции f(x) = -12x + x^3: минимум в точке x = 2 и максимум в точке x = -2.