Question

приведите примеры, когда: 1) сумма двух иррациональных чисел является рациональным числом; 2) разность двух иррациональных чисел является рациональным числом

Answer 1

1) Сумма двух иррациональных чисел, являющаяся рациональным числом:

Это возможно, если два иррациональных числа имеют "особые" свойства, такие что их сумма становится рациональной. Один из примеров - корень из 2 и его отрицание.

Пусть \( a = \sqrt{2} \) и \( b = -\sqrt{2} \). Оба числа являются иррациональными, так как корень из 2 не имеет рационального представления.

Теперь рассмотрим их сумму: \[ a + b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0. \]

Сумма этих двух иррациональных чисел равна 0, что является рациональным числом.

2) Разность двух иррациональных чисел, являющаяся рациональным числом:

Также как и в предыдущем примере, возможно, если выбрать иррациональные числа с определенными свойствами. Рассмотрим пример с корнем из 3 и корнем из 2.

Пусть \( a = \sqrt{3} \) и \( b = \sqrt{2} \). Оба числа также являются иррациональными.

Теперь рассмотрим их разность: \[ a - b = \sqrt{3} - \sqrt{2}. \]

Это выражение не является рациональным числом в общем случае. Однако, если мы рационализируем знаменатель, умножив и разделив на конъюгат (сопряженное число) знаменателя, то можем получить рациональное число:

\[ a - b = \sqrt{3} - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{3 - 2}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}. \]

Здесь знаменатель \( \sqrt{3} + \sqrt{2} \) не является нулем, и, следовательно, разность \( a - b \) является рациональным числом.