Question

Сократить дробь а²-5b²/а+b√5

Answer 1

Чтобы сократить данную дробь \( \frac{a^2 - 5b^2}{a + b\sqrt{5}} \), нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя (чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе).

Сопряженное выражение к \( a + b\sqrt{5} \) равно \( a - b\sqrt{5} \).

Умножим числитель и знаменатель на \( a - b\sqrt{5} \):

\[ \frac{a^2 - 5b^2}{a + b\sqrt{5}} \cdot \frac{a - b\sqrt{5}}{a - b\sqrt{5}} \]

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

\[ \frac{a^3 - ab\sqrt{5} - 5ab^2 + 5b^3}{a^2 - 5b^2} \]

Теперь можно сократить общие множители в числителе и знаменателе:

\[ \frac{a(a^2 - 5b^2) - b\sqrt{5}(a^2 - 5b^2)}{(a + b\sqrt{5})(a - b\sqrt{5})} \]

\[ \frac{(a - b\sqrt{5})(a + b\sqrt{5})}{(a + b\sqrt{5})(a - b\sqrt{5})} \]

Оставшийся результат:

\[ \frac{a - b\sqrt{5}}{1} \]

Таким образом, упрощенная форма данной дроби - \( a - b\sqrt{5} \).