Question

Найдите интеграл s сверху 2 снизу 1. 2x-1/x^2

Answer 1

Чтобы найти интеграл \(\int_{1}^{2} \frac{2x - 1}{x^2} \,dx\), давайте разложим дробь на две:

\[\int_{1}^{2} \frac{2x - 1}{x^2} \,dx = \int_{1}^{2} \left( \frac{2x}{x^2} - \frac{1}{x^2} \right) \,dx.\]

Теперь выразим каждый из интегралов отдельно:

1. \(\int_{1}^{2} \frac{2x}{x^2} \,dx\):

Разложим \(\frac{2x}{x^2}\) на \(\frac{2}{x}\):

\[\int_{1}^{2} \frac{2x}{x^2} \,dx = \int_{1}^{2} \frac{2}{x} \,dx.\]

Теперь возьмем интеграл:

\[\int_{1}^{2} \frac{2}{x} \,dx = 2 \ln|x| \Big|_{1}^{2}.\]

Подставим верхний и нижний пределы:

\[2 \ln|2| - 2 \ln|1| = 2 \ln(2).\]

2. \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \,dx\):

Это интеграл от \(x^{-2}\), который можно найти как \(-\frac{1}{x}\):

\[\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \,dx = -\frac{1}{x} \Big|_{1}^{2}.\]

Подставим верхний и нижний пределы:

\[-\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}.\]

Теперь сложим результаты обоих интегралов:

\[\int_{1}^{2} \frac{2x - 1}{x^2} \,dx = 2 \ln(2) + \frac{1}{2}.\]

Итак, интеграл \(\int_{1}^{2} \frac{2x - 1}{x^2} \,dx\) равен \(2 \ln(2) + \frac{1}{2}\).