Question

Упростить: cos^3(pi/12) + sin^3(pi/12)

Answer 1

Для упрощения данного выражения, мы можем использовать формулу для тригонометрического куба. Формула для куба синуса и косинуса гласит:

sin^3(x) = (3sin(x) - sin(3x)) / 4

cos^3(x) = (3cos(x) + cos(3x)) / 4

Теперь мы можем подставить значение x = pi/12 в эти формулы:

sin^3(pi/12) = (3sin(pi/12) - sin(3 * pi/12)) / 4

cos^3(pi/12) = (3cos(pi/12) + cos(3 * pi/12)) / 4

Заметим, что sin(3 * pi/12) и cos(3 * pi/12) могут быть упрощены, так как 3 * pi/12 = pi/4. Значения sin(pi/4) и cos(pi/4) хорошо известны и составляют 1/√2.

Подставим эти значения и упростим дальше:

sin^3(pi/12) = (3sin(pi/12) - sin(pi/4)) / 4

cos^3(pi/12) = (3cos(pi/12) + cos(pi/4)) / 4

Теперь осталось вычислить значения sin(pi/12) и cos(pi/12). Для этого можно воспользоваться таблицей значений или калькулятором. Округлим значения до четырех знаков после запятой:

sin(pi/12) ≈ 0.2588

cos(pi/12) ≈ 0.9659

Подставляем эти значения в наши формулы:

sin^3(pi/12) ≈ (3 * 0.2588 - 1/√2) / 4

cos^3(pi/12) ≈ (3 * 0.9659 + 1/√2) / 4

Вычисляем значения:

sin^3(pi/12) ≈ 0.0572

cos^3(pi/12) ≈ 0.8536

Итак, упрощенные значения выражения cos^3(pi/12) + sin^3(pi/12) составляют:

cos^3(pi/12) + sin^3(pi/12) ≈ 0.8536 + 0.0572 ≈ 0.9108