Question

Докажите неравенство: а)2bc b)a(a-b)>b(a-b) c)a^2-a<37a^2-13a+1

Answer 1

Давайте рассмотрим каждое неравенство поочередно:

а) \(2bc + b > a(a - b) + c\)

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[2bc + b > a^2 - ab + c\]

Вынесем общий множитель \(b\) за скобку:

\[b(2c + 1) > a^2 - ab + c\]

Теперь можем выразить неравенство относительно \(a\):

\[a^2 - ab + c < b(2c + 1)\]

б) \(a^2 - a < 37a^2 - 13a + 1\)

Переносим все члены в одну сторону:

\[0 < 36a^2 - 12a + 1\]

Это квадратное уравнение, и чтобы понять его знак, мы можем рассмотреть дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4(36)(1) = 144 - 144 = 0\]

Так как дискриминант равен нулю, у нас есть один корень, и он равен \(-\frac{b}{2a} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}\). Знак коэффициента при \(a^2\) положителен, поэтому у нас будет положительный квадратный трехчлен.

Таким образом, неравенство будет выполняться для всех действительных \(a\).

Итак, доказаны оба неравенства.