Question

Упростить(sin10x/cos2x+cos10x/sin2x)  / (sin^4x+cos^4x-6sin^2xcos^2x)

Answer 1

Давайте рассмотрим выражение и пошагово упростим его.

Исходное выражение: \[ \frac{\frac{\sin(10x)}{\cos(2x)} + \frac{\cos(10x)}{\sin(2x)}}{\sin^4(x) + \cos^4(x) - 6\sin^2(x)\cos^2(x)} \]

Для упрощения начнем с числителя. Общим знаменателем будет \(\sin(2x)\cos(2x)\). Умножим первую дробь на \(\frac{\sin(2x)}{\sin(2x)}\) и вторую на \(\frac{\cos(2x)}{\cos(2x)}\):

\[ \frac{\frac{\sin(10x)\sin(2x)}{\sin(2x)\cos(2x)} + \frac{\cos(10x)\cos(2x)}{\sin(2x)\cos(2x)}}{\sin^4(x) + \cos^4(x) - 6\sin^2(x)\cos^2(x)} \]

Теперь объединим числители в одну дробь:

\[ \frac{\sin(10x)\sin(2x) + \cos(10x)\cos(2x)}{\sin(2x)\cos(2x)(\sin^4(x) + \cos^4(x) - 6\sin^2(x)\cos^2(x))} \]

Теперь рассмотрим знаменатель. Это разность куба и шестеренной разности квадратов:

\[ \sin^4(x) + \cos^4(x) - 6\sin^2(x)\cos^2(x) = (\sin^2(x) - \cos^2(x))^2 + 4\sin^2(x)\cos^2(x) - 6\sin^2(x)\cos^2(x) \]

\[ = (\sin^2(x) - \cos^2(x))^2 - 2\sin^2(x)\cos^2(x) \]

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

\[ \frac{\sin(10x)\sin(2x) + \cos(10x)\cos(2x)}{\sin(2x)\cos(2x)((\sin^2(x) - \cos^2(x))^2 - 2\sin^2(x)\cos^2(x))} \]

Теперь факторизуем знаменатель, выделив \((\sin^2(x) - \cos^2(x))\):

\[ \frac{\sin(10x)\sin(2x) + \cos(10x)\cos(2x)}{\sin(2x)\cos(2x)(\sin^2(x) - \cos^2(x))(\sin^2(x) - \cos^2(x) - 2\sin^2(x)\cos^2(x))} \]

Сократим \((\sin^2(x) - \cos^2(x))\) в числителе и знаменателе:

\[ \frac{\sin(10x)\sin(2x) + \cos(10x)\cos(2x)}{-2\sin^2(x)\cos^2(x)\sin(2x)\cos(2x)} \]

Теперь упростим числитель, используя формулу суммы углов:

\[ \sin(10x)\sin(2x) + \cos(10x)\cos(2x) = \cos(8x) \]

Подставим это значение в числитель:

\[ \frac{\cos(8x)}{-2\sin^2(x)\cos^2(x)\sin(2x)\cos(2x)} \]

Теперь упростим знаменатель, используя формулу двойного угла и формулу суммы квадратов:

\[ -2\sin^2(x)\cos^2(x)\sin(2x)\cos(2x) = -2\sin(x)\cos(x)(2\sin(x)\cos(x)\sin(2x)) \]

\[ = -4\sin(x)\cos(x)^2\sin(2x) \]

Теперь подставим это значение в знаменатель:

\[ \frac{\cos(8x)}{-4\sin(x)\cos(x)^2\sin(2x)} \]

Теперь можем сократить \(\cos(x)\) в числителе и знаменателе:

\[ \frac{\cos(8x)}{-4\sin(x)\cos(x)\sin(2x)} \]

\[ = \frac{\cos(8x)}{-2\sin(x)\sin(2x)} \]

\[ = \frac{-\cos(8x)}{2\sin(x)\sin(2x)} \]

Таким образом, упрощенное выражение:

\[ \frac{-\cos(8x)}{2\sin(x)\sin(2x)} \]