Question

Решить уравнение x^3-27-3x(x-3)=0!

Answer 1

Конечно, давай решим это уравнение поэтапно.

Имеем уравнение: \(x^3 - 27 - 3x(x - 3) = 0\).

Сначала раскроем скобки во втором слагаемом на левой стороне уравнения:

\[x^3 - 27 - 3x(x - 3) = 0\] \[x^3 - 27 - 3x^2 + 9x = 0\]

Теперь объединим все члены:

\[x^3 - 3x^2 + 9x - 27 = 0\]

Это кубическое уравнение, которое можно решить различными способами. Один из способов - использовать метод подстановок. В данном случае, заметим, что \(x = 3\) является корнем этого уравнения, так как подставив \(x = 3\) мы получим ноль:

\[(3)^3 - 3*(3)^2 + 9*(3) - 27 = 0\] \[27 - 27 + 27 - 27 = 0\] \[0 = 0\]

Таким образом, \(x = 3\) является корнем этого уравнения.

Теперь, когда у нас есть один корень, можно поделить исходное уравнение на \((x - 3)\) с помощью синтетического деления или деления многочленов, чтобы найти остальные корни. Выражение \(x - 3\) является одним из множителей \(x^3 - 3x^2 + 9x - 27\), так как мы знаем, что \(x = 3\) является корнем этого уравнения.

Выполним деление многочленов \(x^3 - 3x^2 + 9x - 27\) на \(x - 3\):

\[ \begin{array}{c|ccccc} & x^3 & -3x^2 & +9x & -27 & \\ \hline x - 3 & x^3 & 0x^2 & -3x & +9 & \\ & x^3 & -3x^2 & & & \\ \hline & & 0x^2 & -3x & +9 & \\ & & 0x^2 & -3x & +9 & \\ \hline & & & 0 & 0 & \end{array} \]

Результат деления: \(x^2 - 3\).

Теперь мы можем записать уравнение как произведение:

\[x^3 - 3x^2 + 9x - 27 = (x - 3)(x^2 - 3) = 0\]

Таким образом, мы получили два возможных корня:

1. \(x = 3\) (как мы уже установили). 2. Для \(x^2 - 3 = 0\), выражение \(x^2 = 3\) дает два корня: \(x = \sqrt{3}\) и \(x = -\sqrt{3}\).

Итак, уравнение \(x^3 - 27 - 3x(x - 3) = 0\) имеет три корня: \(x = 3\), \(x = \sqrt{3}\) и \(x = -\sqrt{3}\).