Question

Cos^2(pi/2-pi/12)-sin^2(pi/12-x/2)-1

Answer 1

Давайте разберемся с данным выражением:

\[ \cos^2\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{12} - \frac{x}{2}\right) - 1 \]

Для удобства, начнем с упрощения каждого слагаемого по отдельности.

1. Начнем с первого слагаемого: \(\cos^2\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}\right)\).

Используем тригонометрическое тождество \(\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\):

\[ \cos^2\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{1 + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}{2} \]

2. Перейдем ко второму слагаемому: \(\sin^2\left(\frac{\pi}{12} - \frac{x}{2}\right)\).

Здесь также воспользуемся тригонометрическим тождеством: \(\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\):

\[ \sin^2\left(\frac{\pi}{12} - \frac{x}{2}\right) = \sin^2\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}{2} \]

3. Теперь третье слагаемое: \(-1\).

Это просто константа -1.

Теперь подставим упрощенные значения обратно в изначальное выражение:

\[ \frac{1 + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}{2} - \frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}{2} - 1 \]

Сократим подобные члены:

\[ \frac{1}{2} + \frac{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}{2} - 1 \]

Теперь можно видеть, что \(\frac{1}{2}\) и \(-\frac{1}{2}\) сокращаются, и остается только \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - 1\):

\[ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - 1 \]

Наконец, значение \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\) равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \]

Это и есть окончательный ответ.