Question

Срочно даю 33 бала вычислить предварительно упростив выражение: (1+tg^2a)-(sina-cosa)^2/cos^2a ;при a=45

Answer 1

Давайте по шагам упростим данное выражение, используя известные тригонометрические тождества:

\[ \frac{{1 + \tan^2 a - (\sin a - \cos a)^2}}{{\cos^2 a}} \]

1. Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{{1 + \tan^2 a - (\sin^2 a - 2 \sin a \cos a + \cos^2 a)}}{{\cos^2 a}} \]

2. Упростим числитель:

\[ \frac{{1 + \tan^2 a - \sin^2 a + 2 \sin a \cos a - \cos^2 a}}{{\cos^2 a}} \]

3. Сгруппируем члены:

\[ \frac{{2 \sin a \cos a + \tan^2 a}}{{\cos^2 a}} \]

4. Разложим \(\tan^2 a\) с использованием тождества \(\tan^2 a = \sec^2 a - 1\):

\[ \frac{{2 \sin a \cos a + (\sec^2 a - 1)}}{{\cos^2 a}} \]

5. Разделим каждый член на \(\cos^2 a\):

\[ \frac{{2 \sin a \cos a}}{{\cos^2 a}} + \frac{{\sec^2 a - 1}}{{\cos^2 a}} \]

6. Упростим:

\[ 2 \tan a + \sec^2 a - \csc^2 a \]

Теперь, подставим \(a = 45^\circ\):

\[ 2 \tan 45^\circ + \sec^2 45^\circ - \csc^2 45^\circ \]

Значения тригонометрических функций при \(45^\circ\):

\[ \tan 45^\circ = 1, \quad \sec 45^\circ = \sqrt{2}, \quad \csc 45^\circ = \sqrt{2} \]

Подставляем в выражение:

\[ 2 \cdot 1 + (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2 \]

\[ 2 + 2 - 2 = 2 \]

Таким образом, значение выражения при \(a = 45^\circ\) равно 2.