Question

Найти производную функции f(x)=ctg^2x в точке x4=π/4

Answer 1

Функция \( f(x) = \cot^2(x) \) - это функция, обратная квадрату котангенса угла \( x \). Прежде чем находить производную этой функции и вычислять ее значение в точке \( x = \frac{\pi}{4} \), давайте сначала найдем производную функции \( f(x) = \cot^2(x) \).

Используем несколько шагов для нахождения производной:

1. Сначала выразим функцию \( f(x) \) через тангенс: \( f(x) = \frac{1}{\tan^2(x)} \). 2. Теперь используем известное тождество: \( \cot^2(x) = \frac{1}{\tan^2(x)} \).

Теперь возьмем производную от \( f(x) = \cot^2(x) \):

\[ \frac{d}{dx} \cot^2(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\tan^2(x)}\right) \]

Используем правило дифференцирования частного и цепного правила:

\[ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\tan^2(x)}\right) = -\frac{2}{\tan^3(x)} \cdot \frac{d}{dx} \tan(x) \]

Теперь найдем производную \( \tan(x) \):

\[ \frac{d}{dx} \tan(x) = \sec^2(x) \]

Подставляем обратно в выражение для производной \( \cot^2(x) \):

\[ \frac{d}{dx} \cot^2(x) = -\frac{2}{\tan^3(x)} \cdot \sec^2(x) \]

Теперь мы можем вычислить значение производной в точке \( x = \frac{\pi}{4} \). Заметим, что в данной точке \( \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 \) и \( \sec^2(\frac{\pi}{4}) = 2 \).

Подставим значения:

\[ \frac{d}{dx} \cot^2(x) \Bigg|_{x = \frac{\pi}{4}} = -\frac{2}{1^3} \cdot 2 = -4 \]

Таким образом, производная функции \( f(x) = \cot^2(x) \) в точке \( x = \frac{\pi}{4} \) равна -4.