Question

как опрелелять где возрастает и убывает функция. на каких координатах заранее спасибо. даю большие балы

Answer 1

Конечно, я рад помочь! Для определения возрастания и убывания функции, нужно проанализировать её производные. В основном, функция возрастает, если её производная положительна, и убывает, если производная отрицательна.

Вот шаги, которые ты можешь предпринять:

1. Нахождение производной: - Если у тебя есть функция \(f(x)\), найди её первую производную \(f'(x)\).

2. Нахождение точек, где производная равна нулю: - Решите уравнение \(f'(x) = 0\). Точки, где производная равна нулю, называются критическими точками.

3. Определение знака производной в интервалах между критическими точками: - Выбери тестовую точку в каждом интервале между критическими точками и определите знак производной в этой точке. - Если производная положительна, функция возрастает. - Если производная отрицательна, функция убывает.

4. Определение возрастания и убывания на концах области определения: - Если функция определена на каком-то интервале \((-\infty, a)\) или \((b, +\infty)\), проверь знак производной в крайних точках.

5. Точки перегиба (необязательно): - Найди вторую производную \(f''(x)\). - Если \(f''(x) = 0\) или не существует в некоторой точке, это может быть точкой перегиба, но это не всегда так.

Пример:

Рассмотрим функцию \(f(x) = x^2 - 2x + 1\).

1. Находим производную: \[f'(x) = 2x - 2.\]

2. Находим критические точки: \[2x - 2 = 0 \implies x = 1.\]

3. Определяем знак производной: - Выберем тестовую точку \(x = 0\): \(f'(0) = -2 < 0\), значит, функция убывает на интервале \((-\infty, 1)\). - Выберем тестовую точку \(x = 2\): \(f'(2) = 2 > 0\), значит, функция возрастает на интервале \((1, +\infty)\).

Таким образом, функция \(f(x)\) убывает на \((-\infty, 1]\) и возрастает на \([1, +\infty)\).