Question

Решите уравнение: а) 3x - 2 корень из x - 8 =0 б) корень 2x+15 = x

Answer 1

Давайте решим каждое уравнение по очереди:

а) \(3x - 2\sqrt{x} - 8 = 0\)

Для упрощения уравнения можем воспользоваться заменой переменной. Обозначим \(\sqrt{x} = t\), тогда \(x = t^2\). Подставим это в уравнение:

\[3t^2 - 2t - 8 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться квадратным корнем:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где у нас есть \(a = 3\), \(b = -2\), и \(c = -8\).

\[t = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(3)(-8)}}{2(3)}\]

\[t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{6}\]

\[t = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{6}\]

\[t = \frac{2 \pm 10}{6}\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(t\):

\[t_1 = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2\]

\[t_2 = \frac{2 - 10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}\]

Теперь мы можем восстановить значения для \(x\) используя \(t = \sqrt{x}\):

\[t_1 = \sqrt{x} \Rightarrow x_1 = (2)^2 = 4\]

\[t_2 = \sqrt{x} \Rightarrow x_2 = \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}\]

Таким образом, уравнение \(3x - 2\sqrt{x} - 8 = 0\) имеет два решения: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = \frac{16}{9}\).

б) \(\sqrt{2x + 15} = x\)

Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[2x + 15 = x^2\]

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

\[x^2 - 2x - 15 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение, используя формулу для квадратного корня:

\[x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-15)}}{2(1)}\]

\[x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}\]

\[x = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2}\]

\[x = \frac{2 \pm 8}{2}\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(x\):

\[x_1 = \frac{2 + 8}{2} = 5\]

\[x_2 = \frac{2 - 8}{2} = -3\]

Таким образом, уравнение \(\sqrt{2x + 15} = x\) имеет два решения: \(x_1 = 5\) и \(x_2 = -3\).