Question

Докажите что при любом n. значение выражения 2*n^3+7n-3 кратно трём

Answer 1

$2n^3+7n-3=(3n^3+3n-3)-(n^3-4n)=\\\\ 3(n^3+n-1)-(n-2)(n+2)n$ 
слагаемое  $3(n^3+n-1)$ делиться на 3 , так как  есть множитель $3$ , 
 $(n-2)(n+2)n$ докажем что  это выражение делится на $3$  , положим что $n$ четное , тогда $n=2z\\\\ (2z-2)(2z+2)2z=8(z-1)(z+1)z$
числа $z-1;z;z+1$ последовательные , следовательно хотя бы в одной из них будет множитель $3$   , значит выражение делится на $3$ , и  все  выражение $2n^3+7n-3$ так же делится на  $3$ . Так же и доказывает при $n$    равным нечетному числу