Question

Помогите, пожалуйста, решить неопределенный интеграл

Answer 1

$\int \frac{dx}{8-4sinx+7cosx} =[\; t=tg \frac{x}{2} \; ,\; sinx= \frac{2t}{1+t^2}\; ,\; cosx= \frac{1-t^2}{1+t^2}\; ,\\\\ dx= \frac{2\, dt}{1+t^2} \; ]=\int \frac{2\, dt}{(1+t^2)\cdot (8- \frac{8t}{1+t^2} +\frac{7-7t^2}{1+t^2} )} =2\cdot \int \frac{dt}{8+8t^2-8t+7-7t^2} =\\\\=2\cdot \int \frac{dt}{t^2-8t+15} =2\cdot \int \frac{d(t-4)}{(t-4)^2-1} =2\cdot \frac{1}{2}\cdot ln\Big |\frac{t-4-1}{t-4+1}\Big |+C=\\\\=ln\Big | \frac{tg\frac{x}{2}-5}{tg\frac{x}{2}-3} \Big |+C$