Question

Начиная с числа 1, записали подряд все натуральные числа до 1111 включительно и получили запись натурального числа M. Найдите остаток, ко- торый получится при делении числа M на 9.

Answer 1

Признак делимости на 9:
 Число делится на 9, если сумма цифр этого числа делится на 9

Число М=123456789....110911101111
Найдем сумму цифр этого числа.
Сумма цифр однозначных чисел натурального ряда
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 кратна 9
Число 123456789 кратно 9

Двузначные
10  11  12  13  14  15  16  17  18  19    имеют сумму цифр 1·10 + 45
20  21  22  23  24  25  26  27  28  29                                  2·10 + 45
...........................................................................
90  91  92                                    99                                  9·10 + 45
45 в каждой строке кратно 9
1·10+2·10+...9·10 =450 кратно 9
Число 1234567891011121314151617181920...90919293949596979899 кратно 9
И так далее

Сумма цифр числа, состоящего из натуральных чисел от 1 до 1109 кратна 9. Остаток от деления этого числа на 9 равен 0

 Число М получено из предыдущего приписыванием еще двух натуральных чисел
1110 и 1111
Сумма цифр этих чисел равна 7
Остаток от деления числа М на 9 равен 7