Question

Найти общий интеграл диф.уравнения

Answer 1

Это однородное уравнение. Проведём замену:

$y=tx\\y'=t'x+t$

Тогда

$t'x+t=\frac{x+tx}{x-tx} \\t'x+t=\frac{1+t}{1-t} \\t'x(1-t)+t-t^2=1+t\\\frac{dt}{dx} x(1-t)=1+t^2\\\frac{(1-t)}{1+t^2} dt=\frac{dx}{x} \\\displaystyle\int\frac{(1-t)}{1+t^2} dt=ln|x|+C\\\displaystyle\int\frac{dt}{1+t^2} -\displaystyle\int\frac{tdt}{1+t^2} =\ln|x|+C\\arctg\ t-\frac{1}{2} \displaystyle\int\frac{d(1+t^2)}{1+t^2}=\ln|x|+C\\arctg\ t-\frac{1}{2}\ln|1+t^2|=ln|x|+C$

Если $y=tx$, то $t=\frac{y}{x}$. Тогда ответ:

$arctg\ \frac{y}{x}-\frac{1}{2}\ln\left|1+\frac{y^2}{x^2}\right| =ln|x|+C$

Можно было бы провести еще какие то преобразования, но в принципе и в таком виде ответ выглядит неплохо, да и вашему преподу будет легче проверять.