Question

Как это получилось? Формулу и пояснить (что куда вставлять)

Answer 1

Это формула Маклорена 3 рорядка для функции:

$y=2^x.$

Сделано очень подробно, добавить нечего. Только почитать конспект.

Answer 2

Формула Тейлора в неё подставляют найденные значения по f(x)=2ˣ

${\displaystyle \sum _{n=0}^{k}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}};$

f'''(x)=(2ˣln²2)'=ln²2(2ˣ)'=ln²2*2ˣ*ln2=2ˣln³2;

f'''(0)=2⁰ln³2=1*ln³2=ln³2;

f(n производных)(0)=lnⁿ2;

Подставляем значения в ряд Тейлора:

$\displaystyle \sum _{n=0}^{k}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=f(0)+f'(0)(x-0)+{\frac {f^{(2)}(0)}{2!}}(x-0)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}(x-0)^{k}}=\\f(0)+f'(0)x+{\frac {f^{(2)}(0)}{2!}}x^2+\ldots +{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}x^{k}}=\\1+xln2+{\frac {ln^2}{2}}x^2+\ldots +{\frac {ln^k2}{k!}}x^{k}};$