Question

Задайте формулой квадратичную функцию, если: а) её график проходит через точки А(0;-2) и В(-2;4) и функция принимает значение -4 в единственной точке б) её значения при х=-1 и при х=2 совпадают, её наибольшее значение равно 3, а график содержит точку Р(1;1)

Answer 1

а)
Ищем функцию вида $y=ax^2+bx+c$
Подставляем координаты точки (0; -2):
$-2=a\cdot0^2+b\cdot0+c \\\ c=-2$
Тогда функция принимает вид $y=ax^2+bx-2$
Подставляем координаты точки (-2; 4)^
$4=a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)-2 \\\ 4a-2b-2=4 \\\ 4a-2b=6 \\\ 2a-b=3 \\\ b=2a-3$
Зная, что значение -4 принимается в единственной точке, можно потребовать чтобы уравнение  $ax^2+bx-2=-4$ имело ровно один корень, то есть равный нулю дискриминант:
$ax^2+bx-2=-4 \\\ ax^2+bx+2=0 \\\ D=b^2-4\cdot2\cdot a=b^2-8a=0$
Ранее мы получили, что b=2a-3:
$(2a-3)^2-8a=0 \\\ 4a^2-12a+9-8a=0 \\\ 4a^2-20a+9=0 \\\ D_1=(-10)^2-4\cdot9=64 \\\ a_1= \frac{10+8}{4} =4.5 \Rightarrow b_2=2\cdot4.5-3=6 \\\ a_2= \frac{10-8}{4} =0.5 \Rightarrow b_2=2\cdot0.5-3=-2$
Полученные функции:
$y_1=4.5x^2+6x-2 \\\ y_2=0.5x^2-2x-2$

б)
Ищем функцию вида $y=ax^2+bx+c$
Так как у(-1)=у(2), то:
$a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+c=a\cdot2^2+b\cdot2+c \\\ a-b=4a+2b \\\ 3a=-3b \\\ a=-b$
Подставляем координаты точки (1; 1)^
$1=a\cdot1^2+b\cdot1+c \\\ a+b+c=1$
Так как а=-b, то:
$-b+b+c=1 \\\ c=1$
Тогда функция принимает вид $y=ax^2+bx+1$
Зная максимальное значение то что максимальное значение достигается в единственной точке - вершине параболы, составляем уравнение и требуем, чтобы оно имело ровно один корень:
$ax^2+bx+1=3 \\\ ax^2+bx-2=0 \\\ D=b^2-4\cdot(-2)\cdot a=b^2+8a=0$
Зная, что а=-b, получим:
 $b^2-8b=0 \\\ b(b-8)=0 \\\ b_1=0 \Rightarrow a_1=0 \\\ b_2=8 \Rightarrow a_2=-8$
Если а=0, то функция не квадратичная, этот вариант не берем в ответ.
Полученная функция: $y=-8x^2+8x+1$