Question

Решите уравнения: (x^2 - 3x)*((√14 - 5x) - x) = 0 √x/x+1 + √x+1 = 5/2

Answer 1

1) ОДЗ: $14-5x \geq 0 \ \textless \ =\ \textgreater \ x \leq 14/5$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
а) $x^2-3x=0 \ \textless \ =\ \textgreater \ x(x-3)=0 \ \textless \ =\ \textgreater \ x_1=0; x_2=3 \ \textgreater \ 14/5$, значит по ОДЗ подходит только x=0.
б) $\sqrt{14-5x} -x=0\ \textless \ =\ \textgreater \ \sqrt{14-5x} =x \ \textless \ =\ \textgreater \ \\ \left \{ {{14-5x=x^2} \atop {x \geq 0}} \right.$ Решаем квадратное уравнение:
$x^2+5x-14=0 \\ D=25+56=81=9^2 \\ x_1= \frac{-5+9}{2} =2 \\ x_2= \frac{-5-9}{2} =-7 \ \textless \ 0 \\ =\ \textgreater \ x=2$
Ответ: 0; 2.

2) $\sqrt \frac{{x}}{x+1} + \sqrt { \frac{x+1} {x}}= \frac{5}{2}$
ОДЗ: (x+1)/x≥0 и x/(x+1)≥0, тогда x принадлежит (-бесконечности;-1) U (0;+бесконечность).
Замена t=√x+1/x:
$t+1/t= \frac{5}{2} \\ 2t^2+2= 5t \\ 2t^2-5t+2=0 \\ D=25-16=9=3^2 \\ t_1=(5-3)/4=1/2 \\ t_2=(5+3)/4=2$
Делаем обратную замену и возводим уравнение в квадрат:
(x+1)/x=1/4 => 4x+4=x => 3x=-4 => x=-4/3
(x+1)/x=4 => x+1=4x =>3x=1 =>x=1/3.
Ответ: -4/3; 1/3.