Question

Докажите что уравнение (х-a)(х-b)+(x-a)(x-c)+(x-b)(x-c)=0 имеет решение при любых действительных значениях а,b,c

Answer 1

Если среди a, b,c есть одинаковые, то ответ очевиден (если, скажем, a=b, то выражение обращается в ноль при x=a=b). Пусть они все разные. Обозначив функцию, стоящую в левой части уравнения, через f(x), сосчитаем
f(a)=(a-b)(a-c); f(b)=(b-a)(b-c); f(c)=(c-a)(c-b). Тогда
f(a)·f(b)·f(c)= -(a-b)^2(b-a)^2 (c-a)^2<0 ⇒ или все три перемножаемых числа отрицательны, или одно из них. Во Всяком случае, в какой-то точке наша функция отрицательна. А поскольку исследуемая функция квадратичная с положительным старшим коэффициентом, ее график - парабола с ветвями, смотрящими вверх, обязательно пересечется с осью OX.

Answer 2

(х-а)(х-b)+(x-a)(x-c)+(x-b)(x-c)=0
x^2-bx-ax+ab+x^2-cx-ax+ac+x^2-bx-cx+bc=0
3x^2-2bx-2ax-2cx+ab+ac+bc=0
и попробуй подставить вместо а, b и c числа, реши и докажешь