Question

При каком числовом значении параметра bуравнение 8x^2 + 4x^2 - 2x = b имеет ровно два корня

Answer 1

$8x^2+4x^2-2x=b \\ 12x^2-2x-b=0 \\ \frac{D}{4}=1+12b>0 \\ 12b>-1 \\ b>-\frac{1}{12}$
Ответ: $b\in(-\frac{1}{12};+\infty)$

$8x^3+4x^2-2x-b=0$
Чтобы уравнение имело ровно два действительных корня, попробуем представить его в виде произведения двух биномов.
$8x^3+4x^2-2x-b=4x^2(2x+1)-(2x+b)$
Чтобы наша задумка удалась, нужно прировнять 2x+1 и 2x+b, откуда выясняется, что b=1. В таком случае, приведем уравнение в окончательный вид и найдем корни чтобы проверить.
$4x^2(2x+1)-(2x+1)=(2x+1)(4x^2-1)=(2x^+1)^2(2x-1) \\ (2x+1)^2(2x-1)=0 \\ x_1=-\frac{1}{2};x_2=\frac{1}{2}$
Проверка успешная, ответ найден)
Ответ: при b=1