Question

Помогите решить логарифмические неравенства

Answer 1

1. 
$log_3(2x^2 + x -1) \ \textgreater \ log_32$
Запишем ОДЗ:
$x^2 + x -1 \ \textgreater \ 0$, так как тело логарифма не может быть отрицательным или равным 0 по определению. Решаем это неравенство.
$x^2 + x -1 \ \textgreater \ 0 x^2 + x - 1 = 0 D^2 = 1 + 8 = 9 \sqrt{D} = 3 x_1 = \frac{1}{2} x_2 = -1 ++++(-1)- - - - - -( 1/2)++++ (-\infty;-1)(1/2;+\infty)$
Это ОДЗ. Значения х, при которых неравенство может иметь решение. 
Теперь решаем логарифмическо неравенство.
$log_3(2x^2 + x -1) \ \textgreater \ log_32 2x^2 + x -1 = 2 2x^2 + x -3 = 0 D^2 = 25 \sqrt{D} =5 x_1 = 1 x_2 = -1,5$
1>1/2 и -1.5 < -1 => наши корни удовлетворяют ОДЗ. Строим числовую прямую слева - направо.
$++++(-1.5)- - - -(1) + + + +$
Выбираем "плюс", так как у нас >0. 
Ответ: $(\infty;-1.5)U(1;+\infty)$
2.
ОДЗ: 2х+3>0 => x>-3/2
$log_{0.5}(2x+3) \ \textgreater \ 0 0.5 = 1/2 = 2^{-1} log_{2^{-1}}(2x+3) \ \textgreater \ 0 -log_2(2x+3)\ \textgreater \ 0 | *(-1) log_2(2x+3)\ \textless \ 0 log_2(2x+3)\ \textless \ log_21$
$2x+3\ \textless \ 1$
$2x\ \textless \ -2$
$x\ \textless \ -1$
Итак, у нас x < -1 и по ОДЗ x>-3/2. Значит, значение х принадлежит 
$- \frac{3}{2} \ \textless \ x \ \textless \ -1$
Ответ: $- \frac{3}{2} \ \textless \ x \ \textless \ -1$
3.
Также ОДЗ. 
$\left \{ {{20-x \ \textgreater \ 0} =\ \textgreater \ x\ \textless \ 20 \atop {2(x+1)^2\ \textgreater \ 0}} \right.$
Второе выражение всегда больше нуля, так как квадрат. Но из него мы должны понять, что х не может быть равен -1, иначе будет 0 в логарифме. 
Числовая прямая ОДЗ
$++++(-1)++++(2)-----$
х<20, но исключая точку x = (-1). Можно записать так $x\ \textless \ \frac{20}{[-1]}$ - не деление, а исключение. 
Решаем неравенство. 
$20-x\ \textless \ 2(x+1)^2$
$20 -x \ \textless \ 2(x^2 + 2x + 1) -2x^2 - 5x + 18 \ \textless \ 0 |*(-1) 2x^2 + 5x -18 \ \textgreater \ 0 2x^2 + 5x - 18 = 0 D^2 = 169 \sqrt{D} = 13 x_1 = \frac{-5 + 13}{2} = 2 x_2 = - \frac{18}{4} = - \frac{9}{2} ++++++(-1)++++(20)- - - - - +(-4.5)- - - - - - -(2)++++++++++ (-\infty;-4.5)U(2;20)$
Ответ:
(-$\infty$;-4.5)U(2;20)

Answer 2

Второе
$log_{0,5}(2x+3) \ \textgreater \ 0 \\ \\ 2x+3\ \textless \ 0,5^0 \\ \\ 2x+3\ \textless \ 1 \\ \\ x_1\ \textless \ -1 \\ x_2\ \textgreater \ - \frac{3}{2}$