Question

Сумма второго и шестого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 14, а произведение третьего и пятого членов равно 45 . Найдите первый член этой прогрессии.

Answer 1

Ответ на фото в приложении

Answer 2

Пусть первый член возрастающей арифметической прогрессии равен a, а её разность равна d.

Тогда, второй член прогрессии будет равен a + d, а шестой член – a + 5d.

Исходя из условия задачи, получаем два уравнения:

(a + d) + (a + 5d) = 14, (1) (a + 2d) * (a + 4d) = 45. (2)

Раскроем скобки во втором уравнении:

a^2 + 4ad + 8d^2 = 45.

Выразим из первого уравнения a через d:

2a + 6d = 14, a = 7 - 3d.

Подставим найденное выражение для a во второе уравнение:

(7 - 3d)^2 + 4(7 - 3d)d + 8d^2 = 45.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

49 - 42d + 9d^2 + 28d - 12d^2 + 8d^2 = 45, 5d^2 - 14d + 4 = 0.

Решим полученное квадратное уравнение:

d1,2 = (-(-14) ± √((-14)^2 - 4*5*4)) / (2*5) = = (14 ± √(196 - 80)) / 10 = = (14 ± √116) / 10.

Заметим, что при отрицательных значениях d у нас получаются убывающие прогрессии, а именно в них знак разности меняется на противоположный при переходе к следующему члену, поэтому нам подходит только положительный корень:

d = (14 + √116) / 10.

Выразим из первого уравнения первый член a:

a = 7 - 3d.

Подставим найденные значения a и d в первое уравнение, чтобы проверить их:

(a + d) + (a + 5d) = 14, (7 - 3d + (14 + √116) / 10) + (7 - 3d + 5(14 + √116) / 10) = 14.

Приведем подобные слагаемые и упростим выражение:

14 + √116 = 14.

Уравнение верно, значит, найденные значения a и d являются решением задачи.

Таким образом, первый член прогрессии равен a = 7 - 3d = 7 - 3((14 + √116) / 10).