Question

Упростите выражение: cos pi/4 + ctg4pi/3=

Answer 1

$cos(\frac{\pi}{4} )+ctg(\frac{4\pi}{3} )=\frac{\sqrt{2} }{2} +\frac{\sqrt{3} }{3}=\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{6}$

Answer 2

Давайте упростим выражение шаг за шагом.

1. Сначала рассмотрим \( \cos(\pi/4) \). Угол \( \pi/4 \) соответствует 45 градусам. Значение косинуса 45 градусов известно и равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). \[ \cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

2. Теперь рассмотрим \( \cot(4\pi/3) \). Угол \( 4\pi/3 \) находится в третьем квадранте и соответствует углу \( \pi/3 \) в первом квадранте. Значение котангенса \( \pi/3 \) равно \( \sqrt{3} \). \[ \cot(4\pi/3) = \cot(\pi/3) = \sqrt{3} \]

Теперь мы можем записать упрощенное выражение:

\[ \cos(\pi/4) \cdot \cot(4\pi/3) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} \]

Чтобы дальше упростить, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \):

\[ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{2}} \]

Это дает:

\[ \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{12}}{2 \cdot \sqrt{2}} \]

Теперь упростим корень из 12:

\[ \frac{\sqrt{4 \cdot 3}}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{2}} \]

\[ \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{2}} \]

Заметим, что 2 в числителе и знаменателе сокращаются:

\[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]

Для того чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \):

\[ \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \]

Таким образом, упрощенное выражение:

\[ \cos(\pi/4) \cdot \cot(4\pi/3) = \frac{\sqrt{6}}{2} \]