Question

Найдите первый член и разность арифметической прогрессии если сумма ее первых трёх членов равна 27 а сумма их квадратов равна 275

Answer 1

Пусть эти три члена равны a - d, a, a + d.
По условию их сумма равна 27:
a - d + a + a + d = 27
3a = 27
a = 9

Сумма квадратов равна 275:
(9 - d)^2 + 9^2 + (9 + d)^2 = 275
3 * 9^2 + 2d^2 = 275
243 + 2d^2 = 275
2d^2 = 32
d^2 = 16
d = ±4

Если d = 4, первый член a1 = a - d = 9 - 4 = 5.
Если d = -4, первый член a1 = a + d = 13.

(в первом случае прогрессия 5, 9, 13; во втором 13, 9, 5).

Ответ. (a1, d) = (5, 4) или (13, -4)

Answer 2

Пусть первый член арифметической прогрессии равен а, а разность прогрессии равна d.

Тогда второй член прогрессии будет равен a + d, а третий член - a + 2d.

Исходя из условия, сумма первых трех членов равна 27, поэтому:

а + (a + d) + (a + 2d) = 27.

Раскрыв скобки и сократив подобные слагаемые, получим:

3а + 3d = 27.

Также по условию сумма квадратов первых трех членов равна 275:

а^2 + (a + d)^2 + (a + 2d)^2 = 275.

Раскрывая скобки и суммируя подобные слагаемые, получим:

3а^2 + 12ad + 5d^2 = 275.

Система из двух уравнений:

3а + 3d = 27, 3а^2 + 12ad + 5d^2 = 275.

Для решения данной системы можно использовать метод подстановки или метод исключения переменных.

Например, можно решить первое уравнение относительно а:

а = 9 - d.

Подставляя данное выражение для а во второе уравнение:

3(9-d)^2 + 12(9-d)d + 5d^2 = 275.

После раскрытия скобок и сокращений, получаем квадратное уравнение относительно d:

27d^2 -108d + 81 + 108d - 12d^2 + 5d^2 = 275,

15d^2 - 27d - 194 = 0.

Решив квадратное уравнение, найдем два значения для d: d1 и d2.

Подставляем d1 и d2 в первое уравнение и находим соответствующие значения a1 и a2.

Таким образом, первый член и разность арифметической прогрессии будут равны a1, d1 и a2, d2.