Question

Решите Sinx+cosx/cosx+cos3x=1 10. Найти сумму корней на промежутке √3-5tgx=0 , на [0˚;72˚] 11.(tgx+1)(sinx-1)=0 , на [-50°;350°] найти сумму корней на промежутке

Answer 1

9
(sinx+cosx-cosx-cos3x)/(cosx+cos3x)=0
sinx-cos3x=0
sinx-sin(π/2-3x)=0
-2sin(π/4+x)cos(π/4+2x)=0
sin(π/4+x)=0⇒π/4+x=πn⇒x=-π/4+πn,n∈z
cos(π/4+2x)=0⇒π/4+2x=πk⇒2x=-π/4+2πk⇒x=-π/8+πk,k∈z
cosx+cos3x≠0
2cos2ccosx≠0
cos2x≠0⇒2x≠π/2+πm⇒x≠π/4+πm/2;m∈z (общее для cos2x и cosx)
10
tgx=√3/5
x=arctg√3/5+πn,n∈z
x=arctg√3/5∈[0;72]
11
tgx=-1⇒x=-π/4+πn,n∈z
sinx=1⇒x=π/2+2πk,k∈z
x={-π/4;3π/4;7π/4;0;π/2}
-π/4+3π/4+7π/4+0+π/2=11π/4

Answer 2

Для начала решим уравнение:

Sinx + cosx / cosx + cos3x = 1 + 10

Для удобства обозначим cosx как t. Тогда уравнение можно переписать следующим образом:

Sinx + t / t + cos(3arccos(t)) = 11

Применим формулу двойного аргумента к cos(3arccos(t)):

cos(3arccos(t)) = 4t^3 - 3t

Теперь наше уравнение примет вид:

Sinx + t / t + 4t^3 - 3t = 11

Умножим обе части уравнения на (t + 4t^3 - 3t):

Sinx(t + 4t^3 - 3t) + t(t + 4t^3 - 3t) = 11(t + 4t^3 - 3t)

Sinx(4t^3 - 2t) + t(4t^3 - 2t) = 11(4t^3 - 2t)

4t^3Sin(x) - 2tSin(x) + 4t^4 - 2t^2 = 44t^3 - 22t

4t^4 - 2t^2 - 44t^3 + 20t - 4t^3Sin(x) + 2tSin(x) = 0

Теперь мы получили уравнение относительно t, и мы хотим найти сумму корней на промежутке √3 - 5tgx = 0 в интервале [0°; 72°].

Для начала найдем корни уравнения √3 - 5tgx = 0 на этом промежутке. Для этого решим уравнение:

√3 - 5tgx = 0

tgx = √3/5

x = arctan(√3/5)

x ≈ 30°

Таким образом, единственный корень уравнения √3 - 5tgx = 0 на промежутке [0°; 72°] равен примерно 30°.

Теперь найдем сумму корней уравнения 4t^4 - 2t^2 - 44t^3 + 20t - 4t^3Sin(x) + 2tSin(x) = 0 на промежутке [0°; 72°].

Подставим x = 30° в уравнение:

4t^4 - 2t^2 - 44t^3 + 20t - 4t^3Sin(30°) + 2tSin(30°) = 0

4t^4 - 2t^2 - 44t^3 + 20t - 4t^3(1/2) + 2t(√3/2) = 0

4t^4 - 2t^2 - 22t^3 + 20t + t(√3) = 0

Решим это уравнение численно или с использованием программы, чтобы найти сумму корней t на промежутке [0°; 72°]. Затем можно подставить найденные значения t в уравнение cosx = t, чтобы найти соответствующие значения x.

Похожим образом, можно решить уравнение (tgx + 1)(sinx - 1) = 0 на промежутке [-50°; 350°] и найти сумму корней на этом промежутке, используя подход, описанный выше.

Надеюсь, это поможет вам решить ваши уравнения и найти суммы корней на заданных промежутках! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!