Question

Розв'яжіть нерівність f'(x)<0, якщо f(x)=1/3x^3-2x^2+3x+8

Answer 1

F(x)=1/3x^4-2x^3+3x^2+8x

Answer 2

Щоб розв'язати нерівність \(f'(x) < 0\), спочатку знайдемо похідну \(f'(x)\) та визначимо, де ця похідна менша за нуль.

Дана функція \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 8\). Щоб знайти похідну \(f'(x)\), застосуємо правила диференціювання для кожного члена функції:

\[f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 8\right)\]

\[f'(x) = x^2 - 4x + 3\]

Тепер ми маємо функцію \(f'(x) = x^2 - 4x + 3\). Щоб знайти, де ця функція менша за нуль, розв'яжемо нерівність \(f'(x) < 0\):

\[x^2 - 4x + 3 < 0\]

Спростимо цю нерівність, розклавши її на множники:

\[(x - 3)(x - 1) < 0\]

Тепер розглянемо знак виразу \((x - 3)(x - 1)\) для знаходження областей, де він менший за нуль. Важливо враховувати, що множник змінює знак при кожній корені. Отже, ми маємо такі області:

1. \(x < 1\) 2. \(1 < x < 3\) 3. \(x > 3\)

Отже, нерівність \(f'(x) < 0\) виконується в інтервалах \((-\infty, 1)\) і \((3, +\infty)\).

Це означає, що функція \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 8\) спадає на цих інтервалах.