Question

Cos^3x-cosx= 0 решить уравнение

Answer 1

$cos^3{x} - cos{x} = 0\\ t = cos{x}\\ t^3 - t = 0\\ t(t^2-1)=0\\ t_1=0\\\\ t^2-1=0\\ t^2=1\\ t_2=-1\\ t_3=1\\\\ cos{x_1} = 0\\ cos{x_2} = -1\\ cos{x_3} = 1\\ x_1=\frac{\pi}{2} + \pi*n, n \in z\\ x_2=2\pi*n, n \in z\\ x_3=\pi+2\pi*n, n \in z$

Answer 2

Чтобы решить уравнение \( \cos^3(x) - \cos(x) = 0 \), давайте сначала попробуем выразить \(\cos(x)\) и привести уравнение к более простому виду.

Мы можем выразить \(\cos^3(x)\) как \(\cos^2(x) \cdot \cos(x)\), поэтому уравнение можно переписать так:

\(\cos^2(x) \cdot \cos(x) - \cos(x) = 0\).

Теперь мы видим, что \(\cos(x)\) является общим множителем в обоих членах, поэтому мы можем его вынести:

\(\cos(x) \cdot (\cos^2(x) - 1) = 0\).

Используя тригонометрическую идентичность \(\cos^2(x) - 1 = -\sin^2(x)\), уравнение можно переписать следующим образом:

\(\cos(x) \cdot (-\sin^2(x)) = 0\).

Теперь у нас есть произведение двух множителей, и мы можем рассмотреть каждый из них отдельно:

1. \(\cos(x) = 0\).

2. \(-\sin^2(x) = 0\).

Рассмотрим каждый из этих случаев по отдельности.

1. \(\cos(x) = 0\): Для этого уравнения решения можно найти, заметив, что \(\cos(x) = 0\) в двух случаях: - \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число (в этом случае \(\cos(x) = 0\)). - \(x = -\frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число (также \(\cos(x) = 0\)).

2. \(-\sin^2(x) = 0\): Это уравнение можно решить следующим образом: \(-\sin^2(x) = 0\) означает, что \(\sin^2(x) = 0\). Для \(\sin^2(x) = 0\) существует только одно решение: \(x = 0 + k\pi\), где \(k\) - целое число (в этом случае \(\sin(x) = 0\)).

Итак, у нас есть два набора решений для исходного уравнения: 1. \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число. 2. \(x = -\frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число. 3. \(x = k\pi\), где \(k\) - целое число.