Question

Задача по теории вероятности. В сессию студент сдает 2 экзамена А и В. Вероятность, что сдаст экзамен А=0,9, что сдаст В=0,7. Случайная величина х- число экзаменов, который сдал студент. Составьте закон распределения случайной величины, построить диаграмму, найти D(x), M(x)

Answer 1

Пусть случайная величина Х - количество сданных экзаменов. Очевидно, что она может принимать значения 0,1,2. Вероятности этих событий Р0=0,1*0,3=0,03; Р1=0,9*0,3+0,1*0,7=0,34, Р2=0,9*0,7=0,63. Проверка: Р0+Р1+Р2=1, так что вероятности найдены верно (события Р0,Р1,Р2 составляют полную группу, а сумма вероятностей таких событий должна быть равна 1).

Теперь составляем закон распределения данной дискретной случайной величины (Xi- значение случайной величины, Pi - соответствующая вероятность).

Xi         0            1             2

Pi      0,03       0,34        0,63

Математическое ожидание M[X]=∑Xi*Pi=0*0,03+1*0,34+2*0,63=1,6

Дисперсия D=∑(Xi-M[X])²*Pi=(0-1,6)²*0,03+(1-1,6)²*0,34+(2-1,6)²*0,63=0,3

Answer 2

Закон распределения случайной величины X определяется вероятностями возможных исходов. В данном случае, у студента есть два экзамена - А и В, и вероятность сдать каждый из них известна: P(A) = 0,9 и P(B) = 0,7.

Возможные исходы для случайной величины X - количество экзаменов, которые студент сдал. X может принимать значения от 0 до 2.

Найдем вероятности для каждого значения X:

P(X=0) - студент не сдал ни один экзамен. P(X=0) = P(A не сдан) * P(B не сдан) = (1 - P(A)) * (1 - P(B)) = 0,1 * 0,3 = 0,03.

P(X=1) - студент сдал ровно один экзамен. P(X=1) = P(A сдан) * P(B не сдан) + P(A не сдан) * P(B сдан) = P(A) * (1 - P(B)) + (1 - P(A)) * P(B) = 0,9 * 0,3 + 0,1 * 0,7 = 0,27 + 0,07 = 0,34.

P(X=2) - студент сдал оба экзамена. P(X=2) = P(A сдан) * P(B сдан) = P(A) * P(B) = 0,9 * 0,7 = 0,63.

Теперь построим диаграмму:

X | 0 | 1 | 2 | ------------------------------ P(X) | 0,03 | 0,34 | 0,63 |

где X - количество экзаменов, которые студент сдал, а P(X) - вероятность этого значения.

Найдем математическое ожидание m(X) и дисперсию d(X) для случайной величины X:

m(X) = Σ(X * P(X)) = 0 * 0,03 + 1 * 0,34 + 2 * 0,63 = 1,6

d(X) = Σ((X - m(X))^2 * P(X)) = (0 - 1,6)^2 * 0,03 + (1 - 1,6)^2 * 0,34 + (2 - 1,6)^2 * 0,63 = 0,96

Таким образом, m(X) = 1,6 и d(X) = 0,96.