Question

8sin^4x+13cos2x=7 Помогите решить

Answer 1

8sin⁴x + 13cos2x = 7
8sin⁴x + 13(1 - 2sin²x) = 7
8sin⁴x - 26sin²x + 13 - 7 = 0
8sin⁴x - 26sin²x + 6 = 0
4sin⁴x - 13sin²x + 3 = 0
Пусть t = sin²x, t ∈ [0; 1].
4t² - 13t + 3 = 0
D = 169 - 3·4·4 = 121 = 11²
t₁ = (13 + 11)/8 = 24/8 = 3 - посторонний корень
t₂ = (13 - 11)/8 = 2/8 = 1/4
Обратная замена:
sin²x = 1/4
sinx = 1/2 или sinx = -1/2
1) sinx = 1/2
x = (-1)ⁿπ/6 + πn, n ∈ Z
2) sinx = -1/2
x = (-1)ⁿ⁺¹π/6 + πn, n ∈ Z
Можно написать общее решение:
x = ±π/6 + πn, n ∈ Z.
Ответ: x = ±π/6 + πn, n ∈ Z.

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и идентичности. Давайте разберемся с этим шаг за шагом.

1. Приведение уравнения к более простому виду: Используя тригонометрическую идентичность `cos2x = 1 - 2sin^2x`, мы можем переписать данное уравнение следующим образом: 8sin^4x + 13(1 - 2sin^2x) = 7

2. Раскрываем скобки: 8sin^4x + 13 - 26sin^2x = 7

3. Переписываем уравнение в квадратичной форме: 8sin^4x - 26sin^2x + 6 = 0

4. Введение замены: Обозначим sin^2x как t. Тогда у нас получится следующее уравнение: 8t^2 - 26t + 6 = 0

5. Решение квадратного уравнения: Мы можем решить это уравнение, используя методы факторизации, квадратного корня или квадратного дополнения. Чтобы найти корни данного уравнения, можно воспользоваться квадратным корнем или использовать квадратное дополнение.

Применяя квадратное дополнение, мы находим два числа, сумма и произведение которых равны соответственно -26/8 и 6/8. Эти числа равны -13/4 и 3/4. Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом: 8t^2 - 26t + 6 = 8t^2 - 13t + 3t + 6 = 0

Затем мы сгруппируем первые два и последние два члена: 8t(t - 13/8) + 3(t - 13/8) = 0

Используя факторизацию, мы получаем: (8t + 3)(t - 13/8) = 0

Теперь мы можем решить два уравнения: 8t + 3 = 0 => t = -3/8 t - 13/8 = 0 => t = 13/8

6. Нахождение sin^2x: Возвращаясь к нашей замене, мы решаем два уравнения: sin^2x = -3/8 и sin^2x = 13/8

Однако, у нас нет реальных решений для синуса, так как sin^2x не может быть отрицательным или больше 1. Поэтому, данное уравнение не имеет реальных решений.

Таким образом, уравнение 8sin^4x + 13cos2x = 7 не имеет реальных решений.