Question

Система уравнений (метод подстановки) а) x-y=-1 y+z=5 xz=3. б) x+y=-3 y-z=1 x^2+z^2=10. в) x^2+y^2+z^2=35 x+y=2 x-z=4. г) 3y+z=x x-z=y x^2-3x=5+z^2 (решите пожалуйста)

Answer 1

{ x -  y  =  - 1       ⇒ x =  y -1
{ y + z  = 5           ⇒ z = 5 - y
{ xz  = 3
(y-1)(5-y) = 3
5y  - y²  - 5 +y  = 3
-y²  + 6y   - 5  - 3  = 0
- (y²  - 6y   + 8)  = 0         |*(-1)
y²  - 6y  + 8 = 0
D = (-6)²  - 4*1*8  = 36  - 32  = 4  = 2²
D> 0  -  два корня уравнения
у₁ = (6 - 2)/(2*1) = 4/2 = 2
у₂ = (6 + 2)/(2*1) = 8/2  = 4

х₁ =  2  - 1  = 1
х₂ =  4  - 1  =  3

z₁ =  5  - 2  = 3
z₂  = 5  -  4 = 1

ответ : ( 1 ; 2 ; 3)  ,  ( 3; 4 ; 1)

б)
{x + y  =  - 3      ⇒  x =   - (y + 3)
{y  - z   = 1        ⇒  z =  y  - 1
{x²  + z²  = 10
( - (y + 3) )²     +  (y - 1)²  = 10
y² + 6y  + 9   + y²  - 2y  + 1  = 10
2y²  + 4y  + 10  = 10
2y²  + 4y  = 10 - 10
2y(y + 2) = 0
2y = 0
y₁ = 0
y + 2 = 0
y₂ = - 2

x₁ =  - (0 + 3) = -  3
x₂  = - ( - 2 + 3) = - 1

z₁ =  0 - 1  =  - 1
z₂ = - 2 - 1  =  - 3
ответ :  ( - 3 ;  0;  - 1) ,   ( - 1;  - 2;  - 3)

в) 
{x² + y² + z² = 35
{x + y  = 2    ⇒    y  = 2 - x
{x -  z  = 4    ⇒    z = x  - 4
x²  + (2-x)²  + (x-4)²  = 35
x²  + 4 - 4x + x²   + x²  - 8x + 16  = 35
3x² - 12x   + 20  = 35
3x²  - 12x  + 20 - 35  = 0
3x²  - 12x   - 15  = 0
3(x²  - 4x  - 5) = 0            |:3
х²  - 4х  - 5  = 0
D = (-4)²  - 4*1*(-5) = 16 + 20 = 36 = 6²  ; D>0
x₁ = ( 4 - 6)/(2*1) =  - 2/2  = -1
x₂  = (4 + 6)/(2*1) = 10/2   = 5

y₁  =  2 - (-1) =  2 + 1 = 3
y₂  = 2 -  5  =   - 3

z₁ =  - 1  - 4  =  - 5
z₂  = 5  -  4   = 1
ответ :  ( - 1 ; 3 ; - 5) ,  ( 5; - 3 ;  1 )

г) 
{3y  + z = x        ⇔   { x  = 3y + z
{x  - z  =  y         ⇔   { x  =  y + z
{x² - 3x  = 5+  z²  
3y  + z  = y + z
3y  - y  =  z  - z
2y = 0
y=0  ⇒   x = z
x²- 3x = 5 +x²
x²  - 3x - x²  = 5
-3x=  5
x =  5 : (-3)
х =  - 1 ²/₃
z =  - 1 ²/₃ 
ответ :  ( - 1  ²/₃ ;  0 ;   - 1 ²/₃ ) .

Answer 2

Система уравнений (метод подстановки)

а) Решим систему уравнений: - Уравнение 1: x - y = -1 - Уравнение 2: y + z = 5 - Уравнение 3: xz = 3

Для решения методом подстановки, выразим одну переменную через другую и подставим в другие уравнения.

Из уравнения 1 выразим x через y: x = y - 1.

Подставим это значение x в уравнение 3: (y - 1)z = 3.

Теперь подставим значение y из уравнения 2 в полученное уравнение: (5 - z - 1)z = 3.

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду: z^2 - 6z + 8 = 0.

Решим это квадратное уравнение и найдем значения z: z = 2 или z = 4.

Подставим найденные значения z в уравнение 2 и найдем соответствующие значения y: - При z = 2: y + 2 = 5 => y = 3. - При z = 4: y + 4 = 5 => y = 1.

Теперь подставим найденные значения y и z в уравнение 1 и найдем соответствующие значения x: - При y = 3 и z = 2: x - 3 = -1 => x = 2. - При y = 1 и z = 4: x - 1 = -1 => x = 0.

Итак, решение системы уравнений: - При x = 2, y = 3 и z = 2. - При x = 0, y = 1 и z = 4.

б) Решим систему уравнений: - Уравнение 1: x + y = -3 - Уравнение 2: y - z = 1 - Уравнение 3: x^2 + z^2 = 10

Для решения методом подстановки, выразим одну переменную через другую и подставим в другие уравнения.

Из уравнения 1 выразим x через y: x = -3 - y.

Подставим это значение x в уравнение 3: (-3 - y)^2 + z^2 = 10.

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду: y^2 + 6y + z^2 - 19 = 0.

Решим это квадратное уравнение и найдем значения y: y = -3 ± √(19 - z^2).

Подставим найденные значения y в уравнение 2 и найдем соответствующие значения z: - При y = -3 + √(19 - z^2): (-3 + √(19 - z^2)) - z = 1. - При y = -3 - √(19 - z^2): (-3 - √(19 - z^2)) - z = 1.

Решим эти уравнения и найдем значения z.

Итак, решение системы уравнений: - При x = ..., y = ..., z = ... (решение зависит от найденных значений y и z).

в) Решим систему уравнений: - Уравнение 1: x^2 + y^2 + z^2 = 35 - Уравнение 2: x + y = 2 - Уравнение 3: x - z = 4

Для решения методом подстановки, выразим одну переменную через другую и подставим в другие уравнения.

Из уравнения 2 выразим x через y: x = 2 - y.

Подставим это значение x в уравнение 3: (2 - y) - z = 4.

Теперь подставим значение y из уравнения 2 в полученное уравнение: (2 - (2 - z)) - z = 4.

Упростим уравнение: -z - z = 4 => -2z = 4 => z = -2.

Подставим найденное значение z в уравнение 3 и найдем соответствующее значение x: (2 - y) - (-2) = 4 => y = 0.

Теперь подставим найденные значения x и y в уравнение 1 и найдем соответствующее значение z: (2 - 0)^2 + 0^2 + z^2 = 35 => z = ±√31.

Итак, решение системы уравнений: - При x = 2, y = 0 и z = ±√31.

г) Решим систему уравнений: - Уравнение 1: 3y + z = x - Уравнение 2: x - z = y - Уравнение 3: x^2 - 3x = 5 + z^2

Для решения методом подстановки, выразим одну переменную через другую и подставим в другие уравнения.

Из уравнения 1 выразим x через y и z: x = 3y + z.

Подставим это значение x в уравнение 2: (3y + z) - z = y.

Упростим уравнение: 3y = y => 2y = 0 => y = 0.

Подставим найденное значение y в уравнение 1 и найдем соответствующее значение x: 3(0) + z = x => x = z.

Теперь подставим найденные значения x и y в уравнение 3 и найдем соответствующее значение z: (z)^2 - 3(z) = 5 + z^2.

Упростим уравнение: -3z = 5 => z = -5/3.

Итак, решение системы уравнений: - При x = -5/3, y = 0 и z = -5/3.

Обратите внимание, что в данной системе уравнений существует бесконечное количество решений, так как x и y связаны между собой и могут принимать любые значения при фиксированном z.

Примечание: Решение системы уравнений может быть более точным и подробным, если использовать численные методы или другие методы решения, такие как метод Гаусса или метод Крамера.