Question

Решите систему уравнений: log0,5(x+2y)=log0,5(3x+y) log7(x^2-y)=log7x

Answer 1

Тут надо вспомнить такую вещь, что если у логарифмов основание совпадает, то на эти логарифмы можно не обращать внимания. 
Т.е. в нашем случае остается такая система:
$\left \{ {{x + 2y = 3x + y} \atop {x^2 - y = x}} \right. \\ \left \{ {{2x = y} \atop {x^2 - x - y = 0}} \right.$
Дальше подставляем наш игрек во 2 уравнение 
$x^2 - x - 2x = 0 \\ x^2 - 3x = 0 \\ x(x-3) = 0$
Отсюда наглядно видно, что x = 0, либо х = 3
Подставляя в y, получаем y = 0, либо y = 6
Однако, не стоит забывать про ОДЗ. Поэтому вариант с x и y = 0 исключаем.
$\left \{\atop {x=3, y = 6}} \right.$

Answer 2

Для решения системы уравнений, давайте разберемся с каждым уравнением по отдельности.

Итак, у нас есть система уравнений:

1. \(\log_{0.5}(x + 2y) = \log_{0.5}(3x + y) + \log_7(x^2 - y)\) 2. \(\log_7(x^2 - y) = \log_7(x)\)

Для начала рассмотрим второе уравнение. Обратите внимание, что обе стороны уравнения имеют логарифм по основанию 7. Так как основание логарифма одинаковое, то можно убрать логарифм и получить:

\[x^2 - y = x\]

Теперь приведем подобные члены и выразим y:

\[x^2 - x = y\]

Теперь у нас есть значение y.

Теперь вернемся к первому уравнению:

\[\log_{0.5}(x + 2y) = \log_{0.5}(3x + y) + \log_7(x^2 - y)\]

Подставим найденное значение y:

\[\log_{0.5}(x + 2(x^2 - x)) = \log_{0.5}(3x + x) + \log_7(x^2 - (x^2 - x))\]

Упростим выражение:

\[\log_{0.5}(x + 2x^2 - 2x) = \log_{0.5}(4x) + \log_7(x)\]

Применим свойства логарифмов, чтобы упростить уравнение:

\[\log_{0.5}(x^2) = \log_{0.5}(4x) + \log_7(x)\]

Теперь приведем подобные члены:

\[\log_{0.5}(x^2) = \log_{0.5}(4x \cdot 7x)\]

Снова применим свойства логарифмов:

\[x^2 = 4 \cdot 7x\]

Решим полученное квадратное уравнение:

\[x^2 - 28x = 0\]

\[x(x - 28) = 0\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения x: \(x = 0\) или \(x = 28\).

Теперь подставим эти значения x обратно во второе уравнение, чтобы найти соответствующие значения y.

1. При \(x = 0\):

\[y = 0^2 - 0 = 0\]

Итак, одно решение системы: \(x = 0, y = 0\).

2. При \(x = 28\):

\[y = 28^2 - 28 = 784 - 28 = 756\]

Итак, второе решение системы: \(x = 28, y = 756\).

Таким образом, система имеет два решения: \((0, 0)\) и \((28, 756)\).