Question

Хромая ладья обошла доску 10x10 клеток, побывав на каждой клетке ровно по 1 разу. Впервой клетке, где побывала ладья ,запишем число- 1, во второй- 2, в третьей- 3 и т.д. до 100. Могло ли оказаться так, что сумма чисел, записанных в двух соседних по стороне клетках, делится на 4? Если можно ответ в математическом виде)

Answer 1

Допустим, что такое возможно, т .е. сумма двух каких-то чисел, записанных в соседних клетках делится на 4. Тогда эта сумма является четным числом. Но при таком обходе ладьи во всех соседствующих клетках будут записаны числа разной четности, поэтому сумма чисел в любых двух соседствующих клетках будет суммой четного и нечетного числа, т. е. будет числом нечетным, а нечетное число не может делиться на 4.

Ответ: Не может.

Answer 2

Для решения данной задачи можно использовать математическую индукцию. Покажем, что сумма чисел, записанных в двух соседних по стороне клетках, делится на 4 для всех возможных положений ладьи на доске.

Пусть n - номер клетки, на которой находится ладья. При этом, клетка с номером n имеет координаты (x, y), где x и y - целые числа от 1 до 10. Также пусть S(n) - сумма чисел, записанных на клетках до n-й клетки.

Базовый случай: при n=1, ладья находится в первой клетке, ее координаты (1, 1). По условию задачи, число, записанное на первой клетке, равно 1. Сумма чисел, записанных на двух соседних по стороне клетках, равна 1+2=3, и эта сумма не делится на 4.

Теперь предположим, что для некоторого k, где k > 1, сумма чисел, записанных в двух соседних по стороне клетках перед k-й клеткой, делится на 4. То есть S(k-1) = 4m, где m - целое число.

Докажем, что для k+1, сумма чисел, записанных в двух соседних по стороне клетках перед (k+1)-й клеткой, также делится на 4.

Пусть (k, l) - координаты k-й клетки, где k+1 <= l <= 10. Тогда (k+1, l) - координаты (k+1)-й клетки.

Сумма чисел, записанных на двух соседних по стороне клетках, перед (k+1)-й клеткой, равна S(k) + (2k+1) + (2k+2) = S(k) + 4k + 3.

Так как S(k) = 4m, то S(k) + 4k + 3 = 4m + 4k + 3 = 4(m + k) + 3.

Таким образом, сумма чисел, записанных в двух соседних по стороне клетках перед (k+1)-й клеткой, будет иметь вид 4n + 3, где n = m + k. Из этого следует, что эта сумма не делится на 4.

Таким образом, сумма чисел, записанных в двух соседних по стороне клетках, не может делиться на 4 для любого положения ладьи на доске 10x10 клеток, если ладья посетила каждую клетку единожды.