Question

Найдите область определения функции: √(-5x^2+9x+18)/((x+1)∗(7-x) )

Answer 1

√(-5x^2+9x+18)/((x+1)∗(7-x) )

Решаем систему:

{-5x^2+9x+18>=0

{x+1 neg 0

{7-x neg 0

 

-5x^2+9x+18>=0

D=81-4*(-5)*18=441

x1=-1,2  x2=3

-5(x+1,2)(x-3)>=0 |:(-1)

5(x+1,2)(x-3)<=0

     +                 -             +

-------------[-1,2]-----------[3]----------

             [-1,2; 3]

Но, здесь надо учесть , что х+1 не равно 0  и 7-х не равно 0, т.е. х не равно -1 и не равно 7.

Получаем, [-1,2;-1)объединённое(-1;3]

 

Answer 2

Для определения области определения данной функции сначала нужно исследовать выражение под корнем. В данном случае у нас есть функция:

f(x) = √(-5x^2 + 9x + 18) / ((x + 1) * (7 - x))

Выражение под корнем (-5x^2 + 9x + 18) должно быть неотрицательным, так как корень квадратный из отрицательного числа не существует в области действительных чисел.

Выражение под корнем (-5x^2 + 9x + 18) >= 0

Чтобы решить это неравенство, мы должны найти значения x, при которых выражение больше или равно нулю.

Мы можем решить это неравенство, используя методы факторизации или графического представления, однако, в данном случае, давайте воспользуемся методом дискриминанта.

Дискриминант

Дискриминант квадратного трехчлена ax^2 + bx + c равен D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, a = -5, b = 9 и c = 18. Подставив эти значения в формулу, мы получим:

D = 9^2 - 4(-5)(18) = 81 + 360 = 441

Так как дискриминант D положителен (D > 0), это означает, что уравнение -5x^2 + 9x + 18 = 0 имеет два различных действительных корня.

Найдем корни уравнения

Мы можем найти корни уравнения -5x^2 + 9x + 18 = 0, используя формулу квадратного корня:

x = (-b ± √D) / (2a)

x = (-9 ± √441) / (2(-5))

x = (-9 ± 21) / (-10)

Таким образом, у нас есть два корня: x = (-9 + 21) / (-10) = 1.2 и x = (-9 - 21) / (-10) = 3.

Область определения

Теперь мы можем определить область определения функции, исключив значения x, при которых выражение под корнем отрицательное и значения x, при которых знаменатель равен нулю.

Функция имеет две ограничения на область определения:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: -5x^2 + 9x + 18 >= 0. Значит, область определения включает все значения x, для которых -5x^2 + 9x + 18 >= 0.

2. Знаменатель функции должен быть отличен от нуля: (x + 1) * (7 - x) != 0. Значит, область определения не включает значения x, при которых (x + 1) * (7 - x) = 0.

Решение неравенства -5x^2 + 9x + 18 >= 0

Давайте решим неравенство -5x^2 + 9x + 18 >= 0, чтобы определить область определения функции.

Мы можем использовать метод интервалов знакопостоянства для решения этого неравенства.

1. Найдем значения x, при которых -5x^2 + 9x + 18 = 0.

Для этого мы должны решить квадратное уравнение -5x^2 + 9x + 18 = 0, используя формулу квадратного корня.

x = (-9 ± √441) / (2(-5))

x = (-9 ± 21) / (-10)

x1 = (-9 + 21) / (-10) = 1.2 x2 = (-9 - 21) / (-10) = 3

2. Построим интервалы знакопостоянства на основе корней и коэффициентов перед x^2 и x.

Интервалы знакопостоянства: (-∞, 1.2) ∪ (3, +∞)

3. Выберем тестовую точку в каждом интервале и определим знак выражения -5x^2 + 9x + 18 для каждой из них.

- Возьмем x = 0 (любое число из интервала (-∞, 1.2)). -5(0)^2 + 9(0) + 18 = 18 > 0 (положительное значение)

- Возьмем x = 2 (любое число из интервала (1.2, 3)). -5(2)^2 + 9(2) + 18 = -2 < 0 (отрицательное значение)

- Возьмем x = 4 (любое число из интервала (3, +∞)). -5(4)^2 + 9(4) + 18 = 34 > 0 (положительное значение)

4. Определим знак выражения -5x^2 + 9x + 18 для каждого интервала.

- В интервале (-∞, 1.2) выражение -5x^2 + 9x + 18 > 0 (положительное значение).

- В интервале (3, +∞) выражение -5x^2 + 9x + 18 > 0 (положительное значение).

Таким образом, область определения функции f(x) = √(-5x^2 + 9x + 18) / ((x + 1) * (7 - x)) включает все значения x, кроме x = 1.2 и x = 3, так как при этих значениях функция будет иметь комплексные числа под корнем и знаменатель будет равен нулю.